Exercices d’algèbre linéaire – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Réduction des endomorphismes

Mathilde Petit

Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, proposés en partie avec correction et mettant en avant les "incontournables", sont divisés en 4 séries : (1) Espaces de dimension finie (2) Déterminants (3) Espaces de dimension quelconque (4) Réduction des endomorphismes

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 509
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes

1. SoitA=1141; donner les valeurs propres de l’endomorphismeuAdéfini surM2(R)par
uA(M) =AM ?. Est-il diagonalisableCCPa0-023
χA(X) = (−1−X)(3−X) =X2−2X−3etA2−2A−3I2= 0.
∀M∈M2(R) A2M−2AM−3M= (u2A−2uA−3Id)(M) = 0.
X22X−3est un polynôme annulateur scindé à racines simples deuAdoncuAest diagonalisable
−
et sp(uA)⊂ {−13}.
2. SoitA=3130−12. Montrer queAest semblable àB=100111001CalculerAnpour
0 2−1
n∈N.CCPa0-019
χA(X) = (1−X)3;Aadmet une seule valeur propre 1 etA6I3doncAn’est pas diagonalisable.
On cherche une réduite de Jordan.
V1=100∈E1etdimE1= 1ou2.
V=zxy∈E1⇐⇒322yyy−+−z22zz=0=00=⇐⇒V∈V ect(010)doncdimE1= 1.
Soitu∈L(K3)canoniquement associé àA.
0
u(V) =V1+V⇐⇒232yyy−+2zz=10=hoisitV2=14.
−2z= 0. On c14
u(V) =V2+V⇐⇒23yy−2+zz0=1=oisitV3=−302323.
4. On ch1
2y−2z= 14
det(V1 V2 V3) =−1326= 0donc on a obtenu une base dans laquelle la matrice deuestB.
Calcul deAn- Méthode 1 :
0 0
A=P BP−1oùP=1014 132−1
0 14−332doncAn=P BnP.
0 0 1tCk=
B=I3+CoùC=001000100 C2=000000e0sik≥3etI3 Ccommutent
donc :
∀n≥2 Bn=I3+nC+n(n+)12C2d’où∀n≥2 An=010n1(n+2n−2n1)n21(−−2−2nnn).
Calcul deAn- Méthode 2 :
(I3−A)3= 0et∀n≥2 Xn= (1−X)3Q(X) +R(X)oùR(X)est le reste de la division
euclidienne deXnpar(1−X)3donc∀n≥2 An=R(A).
−R(1
SoitaX2+bX+c=R(X). 1 est racine triple deXn−R(X)donc1nn(−Rn−0)))11(−==1nR”−(−1a)2−a=b−n−(cnb=−1)0=0−2a= 0
d’oùa b cet le résultat.

3. Soitu vdeux endomorphismes deE,C−espace vectoriel de dimension finie tels queuetv
commutent. Prouver qu’il existe un vecteur propre commun àuetv.
uadmet au moins une valeur propreλ(Eest unC−espace et la dimension est finie, supposée
non nulle) ; soitFl’espace propre associé.
uetvcommutent doncFest stable parv: soitw∈L(F)induit parv.
Fest unC−espace de dimension finie non nulle doncwadmet au moins une valeur propreµ.
Soitx∈Fun vecteur propre dewassocié àµ.x6= 0 u(x) =λxetv(x) =µx.
4. Soitn∈N∗etA∈Mn(R)telle que tr(A)6= 0On définit

f:Mn(R)→Mn(R)
M7→(trA)M−(trM)A

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes

Montrer quefest un endomorphisme diagonalisable deMn(R).
Déterminer les éléments propres def.
SoitM∈Mn(R) f2(M) = (trA)((trA)M−(trM)A)−tr((trA)M−(trM)A)A= (trA)2M−(trAtrM)A.
f2(M)−trAf(M) = 0doncP(X) =X2−trAXest annulateur def.
Cas 1 : trA6= 0.Pest scindé à racines simples (0trA) doncfest diagonalisable.
f(A) = 0doncV ect(A)⊂E0et0est au moins d’ordre 1.
SoitHl’hyperplan deMn(R)ensemble des matrices de trace nulle.H⊂EtrAet trAest au
moins d’ordren2−1
.
La somme des ordres de0et trAestndoncV ect(A) =E0,H=EtrAet les ordres sont 1 et
n2−1.
5. SoitA∈GL6(R)tel queA3−3A2+ 2A=O6et tr(A) = 8. DéterminerχA.
P(X) =X3−3X2+ 2X=X(X−1)(X−2)est annulateur deAdonc sp(A)⊂ {012}mais
A∈GL6(R)donc0∈sp(A).
Soitk1 k2les ordres, éventuellement nuls de12.k11+k22 = 8etk1+k2= 6donck1= 4etk2= 2.
6. SoitAune matrice de rang1. Déterminer son polynôme caractéristique et ses éléments
propres.
A∈Mnn(K)est de rang 1 donc0est valeur propre d’ordren−1au moins.
χA(X)est divisible parXn−1doncχA(X) = (−1)nXn+ (−1)n−1trAXn−1.
Il existe(B C)∈Mn1(K) {0} ×M1n(K) {0}tel queA=BCet trA=CB.
Cas 1 : trA6= 0
trAest valeur propre d’ordre 1 etAB=B(CB) = (tr)ABdoncV ect(B) =EtrA.
0 est valeur propre d’ordren−1et l’hyperplanCX= 0est inclus dansE0donc lui est égal
(dimE0≤ordre (0)) etAest diagonalisable.
Cas 2 : trA= 0
0 est valeur propre d’ordrenetA6= 0(Aest de rang 1) dansAn’est pas diagonalisable donc
dimE0≤n−1doncE0est toujours l’hyperplanCX= 0.

7. Prouver que toute matrice deMn(C)suite de matrices diagonalisables. (L’ensemble desest limite d’une
matrices diagonalisables est dense dansMn(C))
8. SoitM∈GLn(C)telle queM2soit diagonalisable. Démontrer queMest diagonalisable.
9. Soitu v ftrois endomorphismes deE,K-espace vectoriel de dimension finie tels qu’il existe(λ µ)∈K2
tel que :f=λu+µv f2=λ2u+µ2v f3=λ3u+µ3v. Montrer quefest diagonalisable et que
∀n∈N fn=λnu+µnv.
10. (a) SoitA Bdeux matrices carrées d’ordren. CalculerxIBnAIn×−BIn0Inn.
Démontrer que, pour toutes matrices carréesAetB,ABetBAont mme polynôme caractéristique.
(b) Dans cette question, on suppose seulement queA∈Mnp(K)etB∈Mpn(K).
Comparer les polynômes caractéristiques deABetBA.
On pourra utiliser une factorisation deAde la formeA=U JrVoùUetVsont inversibles et
Jr=I0r00.
11. SoitA∈Mnn(C).
(a) Démontrer queAest nilpotente si et seulement siχA(X) = (−X)n.
(b) Exprimer le développement limité d’ordren+ 1en+∞deF χ0A(t))a
(t) =χ(tu moyen des nombres
A
tr(Ak).
(c) Démontrer queAest nilpotente si et seulement si∀k∈[1 n]tr(Ak) = 0.
Centrale

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

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a0-107

a0-102

A0-144

Algèbre linéaire (IV) : Réduction des endomorphismes

1
12. Soit(a b c)∈C3, etM=00a200b−−c1ac!. DiagonaliserM.CCP
13. SoitA∈ Mn(R)telle que :A3=A+In. Démontrer quedetA >0.
9
14. (a) SoitA=−04001−100!Résoudre l’équationX2=A, puisX2+X=A.
(b) SoitA=−−−023544−102!et soitX∈Mn(R)vérifiantX23X=A. Montrer queAX=XA.
−
2
Résoudre l’équationX−3X=A.CCP
(c) Résoudre dansM2(C)l’équationX+X2=1111.Centrale
15. Soituun endomorphisme deE, espace vectoriel de dimension finie etΦl’endomorphisme deL(E)défini par
Φ(v) =u◦v. Montrer queΦest diagonalisable si et seulement siul’est. Siuest diagonalisable, que dire de
ψ:v7→u◦v−v◦u?Centrale
16.A=−IInn−IIn ?est-elle diagonalisable
n
SoitA∈Mn(K). Déterminer le polynôme caractéristique deB=OInnnOAnn, en fonction de celui deA.CCP
17. Soituun endomorphisme d’unR−espace vectoriel de dimension finie, vérifiantu3+u= 0. Montrer queuest de
rang pair.CCP
18. (a) Soitu∈L(Kn)canoniquement associé àA∈Mn(K)etHun hyperplan deKnd’équation
n
Xαixi= 0dans la base canonique.
1
α
Montrer queHest stable parusi et seulement siα.1nest un vecteur propre detA.
−101110121!
(b) Trouver les sous-espaces deR3stables parucanoniquement associé à la matriceA=
0 1
19. Existe-t-ilX∈M3(C)telle queX2=AavecA=1000000!? Généraliser.
20. SoitA∈GLn(K)etX∈Mn1(K). Démontrer : tr(tXA−1X det() =Adet+AXtX)−1.
21. SoitA=10n..(0)∈Mn+1(R)ses valeurs propres et ses vecteurs propres.. Déterminer Centrale
. .
.
.
(0)..
.n10
22. Pour(a1  an)∈Cndonné, on considère la matriceMtelle que :

∀i∈[1 n]mni=min=ai; (i6=netj6=n)⇒mij= 0

SoitΔn(a1