Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Variables aléatoires à densité : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Dénombrement

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2013
• Nombre de lectures: 366
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Probabilités   

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VARIABLES ALEATOIRES A DENSITE

  Exercice 1 SoitXune variable aléatoire dont la densitéfest définie par : f(x)=k(4x−x 2 ) si x∈[0,4]f(x)= 0 sinon. 1) Déterminer le réelk. 2) Déterminer la fonction de répartition deX. 3) Calculer l’espérance et la variance deX. 4) Déterminer une densité de probabilité deY=X. Exercice 2 1) Montrer que la fonction définie par : F(x)= 1+ 1 e −x est une fonction de répartition. SoitXune variable aléatoire à densité dont la fonction de répartition estF. 2) Préciser une densité de probabilitéfdeX. 3) Montrer queXadmet une espérance et la calculer. Exercice 3 (d’après Oral ESCP 2012) 1) Montrer que la fonctionf sur définie   par : f x= 2 −  de ( ) π(e x +e x )  densité est une probabilité. 2) SoitXune variable aléatoire de densitéf  ( sur un espace probabilisé Ω,,P ) . a) Déterminer la fonction de répartition deX. b) La variable aléatoireXadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer. 3) On définit la variable aléatoire réelleY=e X . a) Déterminer une densité deY. b) La variable aléatoireYadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer. Exercice 4

1) Soitα > Déterminer le réel0 .k pour que la fonctionf définie sur   par : f(x)= α k +1 six≥1 et f(x)= 0 six<1 soit une densité de probabilité. 2) SoitXune variable aléatoire de densitéfsur un espace probabilisé ( Ω,,P ) . a) Déterminer la fonction de répartition deX. b) La variable aléatoireXadmet-elle une espérance ? Si elle existe, la calculer. c) La variable aléatoireXadmet-elle une variance ? Si elle existe, la calculer. Exercice 5 1) SoitX . Détermineraléatoire à densité qui suit la loi uniforme  ([0,2])  variable  une une densité des variables aléatoires suivantes : a b ) )     Y Y = =1 2 − X X + . .   3 )d     Y= X 1 .  c) Y=X 2 e)  .  Y=lnX. 2) SoitX  ([ à densité qui suit la loi uniformeune variable aléatoire − 1,2]) . Déterminer une densité des variables aléatoires suivantes : a) Y=X 2 . b)  Y=X . 3) SoitXà densité qui suit la loi uniformeune variable aléatoire  ([− 1,2]) . Déterminer la loi de probabilité de Y=Ent(X ) .