Exercices de révision I Exercice Besançon session

Description

Exercices de révision I Exercice, Besançon, session 1991 On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= ax3+bx2+cx+d . 1. Calculer les nombres réels a, b, c et d sachant que : f (?1)= 0, f (0)= 5, f (1)= 4 et f ?(1)= 0 où f ? désigne la dérivée de f 2. Construire la représentation graphique de f sur [?1 ; 1]. 3. Soit le polynôme P (x)= 2x3?3x2+5. (a) Calculer P (?1) ; en déduire une factorisa- tion de P (x). (b) Résoudre dans R l'équation : P (x)= 0. II Exercice, La Réunion, 1986 Soit la fonction f définie par f (x)= x 3+10x x2+1 . 1. Déterminer des réels a et b vérifiant : pour tout x réel f (x)= ax+ bxx2+1. Montrer que f est impaire. 2. Étudier les variations de f sur R+. (Pour étudier le signe de la dérivée, on posera X = x2.) 3. (a) Calculer lim x?+∞ [ f (x)?x] et lim x??∞ [ f (x)?x].

• position relative de la courbe


• courbe


• repère orthonormal


• tangente


• axe des abscisses


• solu- tion unique sur l'intervalle


• asymptote

Sujets

• Courbe
• Base orthonormale
• Tangente
• Asymptote

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Extrait

Exercices de révision I Exercice,Besançon, session 1991 Déterminer les coordonnées du point d’in2. (a) tersection I de (C) avec l’axe des abscisses. On considère la fonctionfdéfinie surRpar : (b) Démontrerque I est centre de symétrie de 3 2 f(x)=ax+bx+c x+d. (C). (c) Donnerune équation de la tangente (T) à 1. Calculerles nombres réelsa,b,cetdsachant (C) en I. que : ³ ´ −→−→ 3. Tracer(C) et (T) dans le repèreO;i;j. ′ f(−1)=0,f(0)=5,f(1)=4 etf(1)=0 4. Discutergraphiquement, suivant les valeurs du ′ oùfdésigne la dérivée def réelm, le nombre et le signe des solutions de l’équation : 2. Construirela représentation graphique defsur [−1 ; 1]. 2 mx+2(m−1)x−(3m+2)=0. 3 2 3. Soitle polynômeP(x)=2x−3x+5. (a) CalculerP(−1) ;en déduire une factorisa IV Maroc,1983 tion deP(x). Soitfla fonction numérique de la variable réelle x (b) RésoudredansRl’équation :P(x)=0. définie par 2x f(x)= II Exercice,La Réunion, 1986 2 x+a 3 x+10x oùaest un réel positif (a > 0). Soit la fonctionfdéfinie parf(x)=. 2 x+1 1. Quelest l’ensemble de définition def? 1. Déterminerdes réelsaetbvérifiant : pour tout x 2. Montrerquefest impaire. réel bx 3. Calculerla dérivée def. Quelle valeur doiton at f(x)=ax+. 2 x+1 tribuer àapour que la courbe représentative de f Montrer quefest impaire. admette au point d’abscisse l une tangente hori + 2. Étudierles variations defsurR. (Pour étudier zontale ? 2 le signe de la dérivée, on poseraX=x.) 4. Dansce qui suit, on supposea=1. 3. (a)Calculer lim[f(x)−x] etlim [f(x)−x les variations de]. Étudierfet tracer sa courbe re x→+∞x→−∞ présentative dans un repère orthonormé. (b) Étudierle signe def(x)−xpour tout x réel. (c) Représenterdans le plan rapporté à un re ³ ´ −→−→ V GroupeIV, 1993 père orthonorméO;i;j(unité : l cm) : la droite D d’équationy=xet la courbe C Soitfune fonction dont le tableau de variation est d’équationy=f(x le suivant : ) en tenant compte des résultats précédents. On précisera la tangente à C en O. x−∞ −2−1 0+∞ ′ f(x)+0− −0+ III Amériquedu sud, 1985 : −2+∞ +∞ ✒❅❅✒ Soitfla fonction numérique de la variable réelle x f(x)  ❅❅  ❘❅❘❅ définie par : −∞ −∞2 2x+2 f(x)= 2 x+2x−3 c fest de la formef(x)=ax+b+, oùa,betcsont et soit (C) la représentation graphique defdans un re x+1 ³ ´ −→−→ des réels. père orthonorméO;i;j; l’unité de longueur est l ′ ′ cm. 1.Soitfla dérivée def. Calculerf(x). 1. Étudier les variations defles coefficients réels2. Trouver. On précisera unea,b,cen utilisant équation des asymptotes à (C).les données cidessus.

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3. Montrerque la courbe C f représentative defad 1.Déterminer les limites de la fonctionfen 0 et en met comme asymptote, lorsquextend vers+∞ +∞. ou−∞, la droiteΔd’équation :y=x+1. 2. (a)Montrer que pour tout réel strictement po 4. Étudierla position de C f par rapport àΔ itf . isx, on a : 4g(x) ′ VI Centresétrangers, 1994 f(x)=. 2 (x+1) ¸ · 1 Une fonctionfest définie sur−par1 ; ′ 2 (b) En déduire le signe def(x) et le sens de va 2 riation def f(x)=ln(ax+bx+c) (c) Dresserle tableau de variation def aveca,b,créels. 3. Calculerles images par f des réels : 0,l ; 0,25 ; 0,5 ; On suppose que son tableau de variation est le suivant : 1 ; 1,5 ; 2. 1 11 x−1−0 4. Tracerla portion de la courbe représentative de f ′ f(x)+0− correspondant aux réelsxappartenant à l’inter ✯✟❍ valle ]0 ; 2]. ³ ´ ✟ ❍ −→−→ ✟❍❥ 0 0 On prendra un repèreO;i;jayant comme ✟✯❍ ✟ ❍ 5 ✟❥❍ unité graphique : 4 cm. f(x) ln 8 ❅ ❅ VIII AntillesGuyaneseptembre 1998 ❅❘ On considère une fonctionfde la variable réellex, 1. Enutilisant les données numériques du tableau, dont on donne le tableau de variations : déterminera,betc. ′ ′ 1 2. Calculerf(x) et résoudre l’équationf(x)=0. − x−∞ 1 2 0+∞ 3. Vérifierque le sens de variation de la fonctionf obtenue est bien celui indiqué dans le tableau. ′ f(x) − 0+ − Donner la valeur exacte du maximum def 1 +∞ +∞ VII Antilles,1991 f(x ) 0 Partie A 1 − Soit la fonction numériquegdéfinie pour tout réel 3 1 strictement positifxpar : g(x)=x+1+lnx. On appelle (C) la courbe représentative defdans un ³ ´ −→−→ 1. Déterminerles limites de la fonctiongen 0 et en repère orthonorméO;i;j +∞. (unités graphiques 2 cm sur chaque axe). Étudier les variations de la fonctionget dresser Partie A son tableau de variations. En interprétant le tableau donné cidessus : 2. (a)Montrer qu’il existe un unique réelαde l’in tervalle ]0,27 ;0, 28[tel queg(α)=0. (b) Endéduire le signe deg(x l’ensemble de définition de1. Préciser ) selon les valeurs f. dex. ³ ´ −→−→ 2. Placerdans le repèreO;i;j: Partie B (a) l’asymptotehorizontale (D) ; On considère la fonction numériquefdéfinie pour ′ tout réel strictement positifx (b) l’asymptote par : verticale (D ) ; 4xlnx (c) lepoint A où la tangente à (C) est horizon f(x)=. x+1 tale.

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Partie B(b) Donner le tableaude variations defsur On donne maintenant l’expression def: [0;+ ∞[, complété par la limite en+ ∞. 4 3 f(x)=1+ +. 2 2. Onconsidère la fonctionginverse de la fonction (x−1) (x−1) 1 1. Résoudreles équationsf(x)=0 etf(x)= 1. c’estàdireg=. f 2. Aumoyen de votre calculatrice remplir le tableau ′ On noteg, la fonction dérivée deg. suivant (recopier ce tableau sur votre copie.) x1 0,753 40,5 2 f(x) (a) Déterminerg(0),g(1),g(3). 3. Placerla courbe (C) dans le repère de la question A. 2. Quel est le sens de variation de la fonction. (b)g sur [0 ;+∞[ ? Justifier la réponse donnée. IX Francejuin 1999 La courbe cidessous représente une fonction ′ ′ (c) Déterminerles valeursg(0),g(1) . fdéfinie et dérivable sur [0 ;+∞[ dans le repère ³ ´ −→−→ O;i;j. (d) Déterminerla limite degen+∞. ′ On notefla fonction dérivée def. La droite (T A ) est la tangente au pointAd’abscisse 0. 3. On souhaitetraduire graphiquement les infor La courbe admet une tangente parallèle à l’axe des abs mations obtenues pour la fonctiong. Tracer une cisses au point d’abscisse 1. courbe qui satisfait aux résultats obtenus à la Enfin, la fonctionfest croissante sur [1 ;+∞[ et sa li question 2, dans un repère orthonormal (unité 2 mite en+∞est+∞. cm) sur une feuille de papier millimétré ; le tracé 4 des tangentes aux points d’abscisses 0 et 1 devra apparaître sur la figure. 3 3 2 A 2 X Polynésiejuin 1999 On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur 1 1 l’intervalle [1; 6]. Sa courbe représentative (C) dans ~  un repère orthogonal est donnée cidessous. La courbe 0 (C) passe par les points A(1 ; 0), B(2 ; 1), D(4 ; 4) et O ı ~ −2 3 4 E(6 ; 1). Les tangentes à la courbe aux points A et D sont 1 1 -1 parallèles à l’axe des abscisses. −1 La tangente à la courbe au point E passe par le point (T A ) F(5 ; 5). -2 −2 5 -1 01 2 3 4 5 F 4 D 1. À partir des informations portées sur le gra phique et complétées par les précisions précé 3 dentes, répondre aux questions suivantes : C 2 (a) Reproduireet compléter le tableau ci dessous : 1 B x0 1 E f(x) ′ f(x) 0 A 0 1 2 3 4 5 6 Page 3/??

Partie Ila valeur exacte de l’abscisse P du4. Déterminer Par lecture graphique, résoudre l’équationf(x)=0 etpoint B de la courbe où la tangente àΩest pa donner le signe def(xrallèle à l’axe des abscisses.) sur l’intervalle [ 1 ; 6]. 5. Étudierles variations defsur l’intervalle Partie II [4 ;+∞[. On désigne pargla fonction définie sur l’intervalle Calculer la limite defen+∞. 1 ] 1; 6 ] parg(x)=et (Γ) sa courbe représentative Montrer que l’équationf(x)=3 admet une solu f(x) tion unique sur l’intervalle [4 ;5] et donner une dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm. valeur approchée à 0,01 près de cette solution. 1. (a)Calculerg(2),g(4) etg(6). (b) Déterminerla limite deg(x) quandxtend Partie B vers 1. 1. Calculerla dérivée de la fonctiongdéfinie sur 3 Que peuton en déduire pour la courbe (Γ) ? ]0 ;+∞[ par :g(x)=x(11−6 lnx). (c) Dresserle tableau de variation de la fonc 2. Endéduire la valeur exacte, puis une valeur ap tiongsur l’intervalle ] 1 ; 6 ] en donnant les prochée à 0,1 près par excès, de l’aire exprimée en 2 justifications nécessaires. cm dela partie du plan limitée par l’axe des abs ′ ′ cisses, la courbe représentative def, et les droites (d) Déterminerf(4) ; en déduireg(4). d’équationsx=1 etx=e . 2. Tracerla courbe (Γ) ainsi que son asymptote et la tangente au point d’abscisse 4. Partie C Une entreprise fabriquexmilliers d’objets (0 < x < 4). XI Groupe1 bis, 1996 Le coût de fabrication de tous ces objets, en milliers d’euros, est supposé égal àf(x) , oùfdésigne la fonc PROBLÈME ³ ´ −→−→ tion étudiée précédemment. Le plan est rapporté à un repère orthogonalO;i;j Le coût moyen de fabrication d’un objet est, en euros : (unités graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses, l cm f(x) m(x)=. sur l’axe des ordonnées). x La courbeΩest la représentation graphique sur l’in Soitkle nombre d’objets pour lequel le coût moyen de tervalle ]0 ;4] d’une fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ fabrication est maximal. 2 par :f(x)=x(a+blnx), oùaetbdésignent deux 1. Étudierles variations de la fonctionmsur l’inter constantes réelles, et ln la fonction logarithme népé valle ]0 ; 4[. rien. 2. Endéduire la valeur exacte du nombre entierk. 3. Calculerle coût moyen maximal à 1 centime près.

XII Problème,Nouvelle Calédonie, 1996 La fonctionfest une fonction numérique définie sur l’intervalle ]−l;+∞[. On sait qu’il existe deux réelsaetbtels que : pour tout −→ j a b x> −1 ,f(x)=2+ +; −→ O 2 x+1 (x+1) i de plus, le tableau de variation defest donné ci ′ Partie A dessous (oùfdésigne la fonction dérivée def: ′ ′ 1. Calculerf(x) oùfdésigne la fonction dérivée x−1 1+∞ def. ′ f(x)+0− 9 2. Lacourbe représentative defpasse par le point 4 A (1 ; 3). ✒❅ Elle admet en A une tangente D de coefficient di f(x)  ❅ ❅❘ recteur 4. −∞2 2 Montrer quef(x)=x(3−2 lnx). ′ 3. Déterminerune équation de la droite D.1. (a)Calculerf(x) en fonction deaetb.

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(b) Enutilisant les données du tableau de variaOn rappelle que ln désigne la fonction logarithme né tion defepérien et que e est le nombre réel tel que lnet la question (a), déterminer les=1. réelsaetbconsidère la fonction numérique. Onf, définie sur l’in lnx On trouve donc : pour toutx> −1, tervalle ]0 ;e] par :f(x)=x−. x 1 1 f(x)=2+ +. ′ 2 1. Déterminerla fonction dérivéefde la fonction x+1 (x+1) fe[.sur l’intervalle ]0 ; 2. Montrer que l’équationf(x)=1 admet une 2. Lacourbe (C) cidessous représente dans le plan seule solutionαet queαappartient à l’intervalle (P) la fonctionf. [−0, 5; 0]. On appelle (Δ) la droite d’équationy=x. Donner une valeur approchée décimale deαà −1 10 prèspar défaut. (a) Étudier,suivant les valeurs du réelx, le signe dex−f(x) sur l’intervalle ]0 ;e]. 3. Leplan est muni d’un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O;i;j(unité graphique : 2 cm). (b) Endéduire la position relative de la courbe Soit (C) la courbe représentative def (C) et de la droite ( dans ce re Δ) père. ′ 3. (a)Déterminer la fonction dérivéegde la Déduire du tableau de variation defque (C) pos fonction numériquege]sur l’intervalle ]0 ; 2 sède deux asymptote (d 1 ) et (d 2 ) dont on donnera définie parg(x)=(lnx) . une équation. En déduire, sur cet intervalle, une primitive Construire (C), (d 1 ) et (d 2 ). ln x de la fonction qui àxassocie . 4. (a)Etudier le signe def(x) sur ]−1 ;+∞[ en x 2 utilisant le tableau de variation. (b) Calculer,en cm, l’aire de la partie du plan (b) Déterminerune primitive defsur ]−1+∞ limitée par la courbe (C), la droite ([. (P)Δ) et 2 les droites d’équationx=1 etx=e. (c) Calculerl’aire, en cm, de la partie du plan située en courbe (C), l’axe des abscisses du (C) repère et les droites d’équationsx= −2 et x=1. · · 1 5. Soitgla fonction définie sur−;+∞par 2 (Δ) g(x)=ln(f(x)). En utilisant les fonctions composées, déduire les variations degde celles def.

XIII Exercice1, Centres étrangers, 1996 Le plan (P) est muni d’un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O;i;jd’unité graphique 1 cm.

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−→ j −→ O i