PCSIB Mécanique

Edmund Halley

Description

PCSIB Mécanique 2011-2012 TD7 Mouvement à force centrale 1 Oscillateur bidimensionnel Une particule de masse m est soumise à une seule force dont l'énergie potentielle est de la forme Ep = K r 2 2 , K étant une constante d'interaction positive. 1. Trouver l'expression de la force correspondante. En déduire que le mouvement est plan. 2. Ecrire les lois de conservation du mouvement de la particule en fonction des coordonnées polaires (r, ?). 3. Quelle est l'énergie potentielle effective en fonction de r ? Représenter le graph de Ep,eff (r). 4. Quelle est la nature du mouvement de M ? 2 Equation de la trajectoire à partir des formules de Binet Considérons un point matériel M , de vitessse ~v et d'accélération ~a en mouvement dans un référentiel galilén.M soumis à une force centrale de centre O ~f = f(r) ~ur avec r = OM et ~ur = ??? OM r . 1. Etablir les formules de Binet permettant d'exprimer ~v et ~a en fonction de C et u = 1r . La force ~f est une force centrale newtonienne : f(r) = ?Kr2 . 2. A partir du principe fondamental de la dynamique, établir l'équation différentielle vérifiée par u(?).

• orbite


• expression de r0


• proton de masse mp et de charge


• pcsib mécanique


• supposé fixe dans le référentiel galiléen de képler


• rayon de la terre rt

Sujets

• Halley
• Orbite

Informations

• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

PCSIB

MÉcanique

TD7 Mouvement À force centrale

2011-2012

1 Oscillateur bidimensionnel Une particule de massemest soumise À une seule force dont l’Énergie potentielle est de la forme 2 r E p =K,KÉtant une constante d’interaction positive. 2 1. Trouverl’expression de la force correspondante. En dÉduire que le mouvement est plan. 2. Ecrire les lois de conservation du mouvement de la particule en fonction des coordonnÉes polaires(r, θ). 3. Quelleest l’Énergie potentielle effective en fonction der? ReprÉsenter le graph deE p,ef f (r). 4. Quelleest la nature du mouvement deM?

2 Equation de la trajectoire À partir des formules de Binet ConsidÉrons un point matÉrielM, de vitessse~vet d’accÉlÉration~aen mouvement dans un −−→ OM ~ rÉfÉrentiel galilÉn.Msoumis À une force centrale de centre Of=f(r)u~ r avecr=OMetu~ r =. r 1 1. Etablirles formules de Binet permettant d’exprimerv~et~aen fonction deCetu=. r K ~ La forcefest une force centrale newtonienne :f(r) =− 2 . r 2. Apartir du principe fondamental de la dynamique, Établir l’Équation diffÉrentielle vÉrifiÉe par u(θ). 3. EndÉduire que la trajectoire deMest une conique de foyerO.

3 ComÈte de Halley En1705, Edmund Halley publia un livre avanÇant que les comÈtes qui Étaient apparues dans le ciel en1531,1607et1682Étaient en fait une seule et mme comÈte. Expliquant que la comÈte voyage sur une orbite elliptique, Halley prÉdit qu’elle reviendrait en1758. 1. Quelleest la pÉriode de la comÈte? 2. Sachantque sa distance au centre du Soleil au pÉrihÉlie est de0.59U.A., calculer son demi- grand axe et son excentricitÉ. 3. EnrÉalitÉ, le passage au pÉrihÉlie eut lieu en avril 1759. Ce dÉcalage fut prÉdit par Clairault, Lepaute et Lalande, ce qui assura dÉfinitivement le succÈs de la mÉcanique newtonienne en France. Expliquer.

4 ParamÈtre d’impact Le SoleilSde masseMest supposÉ fixe dans le rÉfÉrentiel galilÉen de KÉpler. Un point matÉriel Pde massempÉnÈtre dans le systÈme solaire, avec une vitesse initialev 0 dont le support passe À la distancebdeS.best appelÉ paramÈtre d’impact.