PSI Novembre MATHEMATIQUES

Description

PSI Novembre 2011 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces vectoriels normés Exercice 1 : On note L le IR-e.v des applications lipschitziennes de [0, 1] dans IR et E = C1([0, 1]). 1. Montrer que ?.? : L ? IR définie par : ?f ? L, ?f? = |f(0)|+ Sup (x, y) ? [0, 1]2 x 6= y |f(x)? f(y)| |x? y| est une norme sur L. 2. Montrer que N : E ? IR définie par : ?f ? E,N(f) = |f(0)|+ Sup x?[0,1] |f ?(x)| est une norme sur E et qu'elle coïncide avec la restriction de ?.? à E. 3. En considérant la suite de fonctions (fn)n?IN? définie sur [0, 1] par : fn : x 7?? { 1 n ? nx si 0 ≤ x ≤ 1 n2 0 si 1n2 ≤ x ≤ 1 montrer que ?.? n'est pas équivalente à ?.?∞. Exercice 2 : E = C1([0, 1], IR).

• sens de ? ·


• feuille d'exercices espaces vectoriels


• ??


• unique point fixe

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 novembre 2011
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

PSI MATHEMATIQUES

Novembre 2011

Feuille d’Exercices Espaces vectoriels normÉs

Exercice 1: 1 On noteLleIR-e.v des applications lipschitziennes de[0,1]dansIRetE=C([0,1]). 1. Montrer quek.k:L→IRdÉfinie par : |f(x)−f(y)| ∀f∈L,kfk=|f(0)|+ Sup 2 |x−y| (x, y)∈[0,1] x6=y est une norme surL. 2. Montrer queN:E→IRdÉfinie par : 0 ∀f∈E, N(f) =|f(0)|+ Sup|f(x)| x∈[0,1] est une norme surEet qu’elle concide avec la restriction dek.kÀE. 3. En considÉrant la suite de fonctions(f n ) n∈IN dÉfinie sur[0,1]par : ∗  1 1 −nxsi0≤x≤ 2 n n f n :x7−→ 1 0si 2 ≤x≤1 n

montrer quek.kn’est pas Équivalente Àk.k ∞ .

Exercice 2: 10 E=C([0,1],IR). Montrer queN:f−7k→fk ∞ +kfk ∞ est une norme. Les normes N etk.k ∞ sont-elles Équivalentes?.

Exercice 3: R 1 0x SoitE=C([0,1]RI,). On poseN 1 (f) = Sup|f(x)|etN 2 (f) =e f(x)dx. 0 x∈[0,1] 1. DÉmontrer queN 1 etN 2 sont des normes. 2. Trouverktel que∀f∈E, N 2 (f)≤kN 1 (f). 1 3. On considÈref n :f n (x) = 1−nxsi0≤x≤etf n (x) = 0sinon. Lesf n sont-elles n dansE? Etudier les limites de(f n )dans(E, N 1 )et(E, N 2 ). Les normes sont-elles Équivalentes?.

Exercice 4: q R 1 1 2 02 SoitE=C([0,1]IR,). On noteN(f) =f((0) +f(t)). 0 1. Montrer que c’est une norme . √ R x 0 2. Montrer qur,∀f∈E,kfk ∞ ≤2N(f)Indication Écriref(x) =f(0) +f(t)dt 0 3. Montrer que les normes ne sont pas Équivalentes.

Exercice 5:   n 1 1 n Trouver la limte de la suite(A n ) n≥1 oÙA n = 1 . 1 n

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