Sujet : Algèbre générale, Calcul de cosinus par radicaux

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Algèbre élémentaire. Fonctions trigonométriques circulaires.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Calcul de cosinus par radicaux

Le but de ce problème est d’établir des formules permettant d’exprimer :
π π
cos et cos
5 17
à l’aide de combinaisons finies de radicaux carrés.

π
Partie I : Calcul decos
5

Soit l’équation :
() :5−1=0 .
1. Résoudre () dansℂ (en calculant les cinq racines de) sous forme trigonométrique.
2. On va maintenant résoudre () par radicaux carrés :
2.a Déterminer la fonction polynomialetelle que pour tout∈ℂ:
5−1=(−1)()
2.b Déterminer des réels,,tels que pour tout∈ℂ∗:
()=+12++1+
2
2.c Résoudre, en exprimant les solutions par radicaux carrés, l’équation :
2++=0
d’inconnue∈ℂ.
2.d Pour finir, résoudre l’équation
()=0
en exprimant les solutions par radicaux carrés, éventuellement superposés.
3. Des questions précédentes, déduire des expressions par radicaux de :
π π π π
cos25πe tisnos,sin,sin5555424c,c,soπ.
5

1.

1.a

1.b

Partie II : Calcul decosπ
17

On désigne paretdeux réels et parun entier naturel non nul.
On pose :
−1−1
(,)=∑cos(+) et(,)=∑sin(+) .
=0=0
On suppose sin2=0 .
Calculer(,) et(,) en fonction deet de.

On suppose sin2≠0 .
Etablir les formules :
(,n)si2socsi+(−1)2et(,)=sin2sin+(−1)2.

=
n sin
2 2
On pourra pour cela évaluer(,)+(, cette méthode n’est toutefois pas imposée.) mais

2.

2.a

2.b

2.c

2.d
3.

3.a

3.b

4.

Dans cette question, et les suivantes,θdésigne le réelπ17 .

On pose :
1=cos 3θ+cos 5θ+cos 7θ+cos11θ
2=cosθ+cos 9θ+cos13θ+cos15θ
Montrer que1>0 .
Calculer la somme1+2en s’aidant du résultat de la question II.1.b.
On trouvera pour résultat un nombre rationnel simple.
Calculer le produit12. On devra pour cela :
i) développer le produit des deux sommes1et2.
ii) appliquer au résultat obtenu la formule linéarisant le produit coscos
iii) en conclure12= −2(1+2) .
Déduire de ce qui précède des expressions de1et2par radicaux carrés.

On pose ici :
1=cos 3θ+cos 5θ
2=cos 7θ+cos11θ
3=cosθ+cos13θ
4=cos 9θ+cos15θ
Calculer en s’inspirant la question précédente les produits12et34.
En déduire les expressions de1,2,3,4à l’aide de radicaux carrés, éventuellement superposés.
Calculer cosθcos13θ coset décrire une méthode qui permette d’exprimerθà l’aide de radicaux carrés.
Après résolution, non demandée, on obtient :
cos1π7=1611−17+34−2 17+68+12 17+2 680+152 17
