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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 46 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
Matrices magiques
Dans tout le problème les matrices utilisées appartiennent à3(ℝ) .
Toute matricede3(ℝ notée :) est=ℓ.
On appellela base canonique de3(ℝ) . Elle est formée des matrices :
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1= ,0 0 02=0 0 0 ,3= ,0 0 0
0 0 00 0 00 0 0
0 0 0
6=0 0 1 ,
0 0 0
0 0 0
7=0 0 0 ,
1 0 0
0 0
0 0
0 1
8=
0
0 ,
0
0 0
4=1 0
0 0
0 0
9=0 0
0 0
On peut donc écrire :=1+2+3+4+ℓ5+6+7+8+
A une telle matrice on associe les huit nombres :
1=++,2=+ℓ+,3=++,
4=++,5=+ℓ+,6=++,
7=+ℓ+et8=+ℓ+.
1 0 0 1 1 1
On note := et0 1 0= .1 1 1
0 0 11 1 1
0
0 ,
0
0
0 .
1
.
5
0
=0
0
0
1
0
0
0 ,
0
On note :
le sous-espace vectoriel de3(ℝ) formé des matrices symétriques,
le sous-espace vectoriel de3(ℝ) formé des matrices antisymétriques,
le sous-espace vectoriel de3(ℝ) engendré par la matrice
l’ensemble des matrices pour lesquelles le nombre7( nul (matrices de trace nulle).) est
l’ensemble des matrices magiques de3(ℝ des matrices dont les 8 nombres) i.e.1,2,…,8sont égaux
entre eux.
1.a Justifier que les sous-espaces vectorielsetsont supplémentaires dans3(ℝ) .
1.b Quelles sont les dimensions deet?
1.c Montrer queest un sous-espace vectoriel de3(ℝ) .
Quelle est sa dimension ?
2. On considère l’applicationϕqui, à la matrice ∈3(ℝ) , associe l’élément (1,2,…,8) deℝ8.
2.a Montrer queϕest une application linéaire.
2.b
2.c
2.d
3.a
3.b
Ecrire la matrice deϕen rapportant l’espace de départ3(ℝ) à la baseet l’espace d’arrivéeℝ
base canonique notée.
Montrer que le rang de cette matrice est 7.
On pourra remarquer que l’une des lignes est combinaison linéaire des autres, puis considérer une
combinaison linéaire nulle des autres lignes.
En déduire la dimension du noyau deϕ.
Justifier queest un sous-espace vectoriel de3(ℝ) .
Montrer que∩etsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de.
8à sa
3.c
4.a
4.b
4.c
5.
En observant que∩=kerϕ, déterminer la dimension.
Déterminer une matrice de∩symétrique dont le coefficient d’indice 1. (1,1) vaut
Déterminer une matrice de∩ 1. (1,3) vautantisymétrique dont le coefficient d’indice
Former une base de.
Montrer qu’il n’existe qu’une matrice magique vérifiant=1,=2,=3 et donner celle-ci.