Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Déterminants tridiagonaux

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Déterminants tridiagonaux Exercice 5 [ 00741 ] [correction] Calculer 0 1 (0) Exercice 1 [ 01433 ] [correction] n 0 2? Pour a∈K , calculer . .. . 2a a 0 . .D = n−1n . . . .. . . . . . . .a n D =n . . (0) 1 0. . [n+1]. . a 0 a 2a Exercice 6 CCP MP [ 02584 ] [correction] 2Soit (a,b)∈R ; calculer Exercice 2 [ 01436 ] [correction] ? Soient a,b∈C distincts. Calculer a+b b (0) . .. . . .a+b ab (0) a D =n . . . .. . . . . .1 . . b D =n . . (0) a a+b. . [n]. . ab (0) 1 a+b Exercice 3 [ 00739 ] [correction] ?Soient x∈C et n∈N . Calculer 2 1+x x (0) . .. . . .x D =n . .. . . . x 2 (0) x 1+x [n] Exercice 4 [ 00740 ] [correction] ?Soient θ∈R et n∈N . Calculer 2cosθ 1 (0) . .. . . .1 D =n . .. . . . 1 (0) 1 2cosθ [n] Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 51
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

a
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2a
a
0

0

.
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.
a



Exercice 1[ 01433 ][correction]
Poura∈K?, calculer

Dn=



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a
2a

1

b
.
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

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Dn=

n−1

2
.
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1

n
0

Dn=

(0)

1
0

.
.
.
.
.
.
a

b
a+b

[n]

a+b
a
(0)

(0)

[n+1]

Exercice 6CCP MP[ 02584 ][correction]
Soit(a b)∈R2; calculer

(0)

(0)

2 cosθ

1
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
1

Dn=



Exercice 3[ 00739 ][correction]
Soientx∈Cetn∈N?. Calculer

1 +x2
x

0
n

Exercice 5
Calculer

[ 00741 ][correction]

Enoncés

Exercice 4[ 00740 ][correction]
Soientθ∈Retn∈N?. Calculer

Dn=



1

ab
a+b

(0)

1
2 cosθ[n]

(0)



[n]

Déterminants tridiagonaux

Exercice 2[ 01436 ][correction]
Soienta b∈C?distincts. Calculer

x
.
.
.
.
.
.

(0)

(0)

.
.
.
.
.
.
x

a+b
D1
n=
(0)

x
1 +x2

.
.
.
.
.
.
1

ab
.
.
.
.
.
.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première
ligne dans le second déterminant on obtient pourn>2
Dn= 2aDn−1−a2Dn−2
(Dn)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
r2−2ar+a2= 0de racines doublea.
On a alorsDn= (λn+µ)anavecλ µ∈K.
D0= 1etD1= 2adonnent
Dn= (n+ 1)an

Exercice 2 :[énoncé]
En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première
ligne dans le second déterminant on obtient pourn>2

Dn= (a+b)Dn−1−abDn−2

(Dn)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
r2−(a+b)r+ab= 0de racines distinctesaetb.
On aDn=λan+µbnavecλ µ∈C.D0= 1etD1=a+bdonnent
Dn=an+1a−−bbn+1

Exercice 3 :[énoncé]
En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première
ligne dans le second déterminant on obtient pourn>2

Dn= (1 +x2)Dn−1−x2Dn−2

(Dn)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
2
r−(1 +x2)r−x2= 0de racines1etx2.
Six26= 1alorsDn=λ+µx2navecλ µ∈C
D1= 1etD2= 1 +x2donnent
1x2n+2
−
Dn1=−x2
Six2= 1alorsDn=λn+µ.
D1= 1etD2= 2donnent
Dn=n+ 1

2

Exercice 4 :[énoncé]
En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première
ligne dans le second déterminant on obtient pourn>2

Dn cos= 2θDn−1−Dn−2
(Dn)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
−
r2−2 cosθr+ 1 = 0de racines eiθet eiθ.
Siθ6= 0 [π]alorsDn=λcosnθ+µsinnθ.D0= 1etD1 cos= 2θdonnent
1
(λλocs=θ+µsinθ cos= 2θ

puis

Ainsi

Siθ= 0

Siθ=π

(λµ=1=1tanθ

Dsin(n+ 1)θ
n=
sinθ
[2π]alorsDn=λn+µ.D0= 1etD1= 2donnent
Dn=n+ 1
[2π]alorsDn= (λn+µ)(−1)n.D0= 1etD1= 2donnent
Dn= (−1)n(n+ 1)

Exercice 5 :[énoncé]
En développant selon la première colonne, puis la première ligne et en
recommençant :Dn= (−n)×1×(2−n)×3etc. . .
Sinle développement s’arrte sur le calcul deest pair

n−1 0 0 =
1 0

Sinest impair le développement s’arrte par l’étape

0n−2 0 0
3 0n−1 0−3n−2002n=0−3(n−2)01
=
0 2 0n
 00 0 1 00 1 

En écrivantn= 2p+ 1, on parvient à
Dn= (−1)p+1(1×3× ∙ ∙ ∙ ×2p+ 1)2

n= 3n(n−2)
n

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Exercice 6 :[énoncé]
Par développement d’un déterminant tridiagonal,

Dn

= (a+b)Dn−1−abDn−2

Corrections

La suite(Dn)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
r2−(a+b)r+ab= 0de racinesaetb.
Sia6=balors on peut écrireDn=λan+µbnet compte tenu des valeurs initiales,
on obtient

an+1−bn+1
Dn=
a−b
= (λn+µ)anet on parvient cette fois-ci à

Sia=balors on peut écrireDn

Dn= (n+ 1)an

3

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