Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Trace
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Trace Exercice 7 [ 00733 ] [correction] On note tr la forme linéaire trace sur E =M (K).n EtablirExercice 1 [ 03258 ] [correction] ker(tr) = Vect{[A,B]/A,B∈E}Existe-t-il des matrices A,B∈M (K) vérifiantn où l’on note [A,B] =AB−BA. AB−BA =I ?n Exercice 8 [ 00711 ] [correction] Exercice 2 [ 03259 ] [correction] Etablir que Vect{AB−BA/A,B∈M (R)} est un hyperplan deM (R).n nSoient A,B∈M (K) des matrices vérifiantn AB−BA =A Exercice 9 [ 00735 ] [correction] p ?Calculer tr(A ) pour p∈N . Soit A∈M (R). Résoudre l’équationn tX + X = tr(X)A Exercice 3 [ 00729 ] [correction] d’inconnue X∈M (R).nSoient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E) de rang 1. Montrer 2f = tr(f).f Exercice 10 [ 03261 ] [correction] A quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur? a) Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d’un projecteur est-il égal à sa trace? qb) Soit A∈M (K) vérifiant A =I .n n Exercice 4 [ 03029 ] [correction] Montrer Soient A∈M (R) et ϕ l’endomorphisme deM (R) défini par q−1n n X1 kdimker(A−I ) = tr(A )n qϕ(M) =MA k=0 Exprimer la trace de ϕ en fonction de celle de A. Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 00734 ] [correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie et G un sous-groupe de GL(E) Exercice 5 Centrale MP [ 00730 ] [correction] d’ordre fini n. Montrer Soit M une matrice carrée de taille n à coefficients dansK sous-corps deC.

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Langue Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Trace

Exercice 1[ 03258 ][correction]
Existe-t-il des matricesA B∈ Mn(K)vérifiant

AB−BA=In?

Exercice 2[ 03259 ][correction]
SoientA B∈ Mn(K)des matrices vérifiant

Calculer tr(Ap)pourp∈N?.

AB−BA=A

Exercice 3[ 00729 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf∈ L(E)de rang 1.
Montrer
f2=tr(f)f
A quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur ?

Exercice 4[ 03029 ][correction]
SoientA∈ Mn(R)etϕl’endomorphisme deMn(R)défini par

ϕ(M) =M A

Exprimer la trace deϕen fonction de celle deA.

Exercice 5Centrale MP[ 00730 ][correction]
SoitMune matrice carrée de taillenà coefficients dansKsous-corps deC.
Montrer que si trM= 0, il existe deux matricesAetBtelles que

M=AB−BA

Exercice 6[ 00731 ][correction]
Soitϕune forme linéaire surMn(K). Montrer qu’il existeA∈ Mn(K)tel que
pour toutM∈ Mn(K),ϕ(M) =tr(AM).

Enoncés

Exercice 7[ 00733 ][correction]
On note tr la forme linéaire trace surE=Mn(K).
Etablir
ker(tr) =Vect{[A B]A B∈E}

où l’on note[A B] =AB−BA.

Exercice 8[ 00711 ][correction]
Etablir que Vect{AB−BAA B∈ Mn(R)}est un hyperplan deMn(R).

Exercice 9[ 00735 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Résoudre l’équation

d’inconnueX∈ Mn(R).

X+tX=tr(X)A

1

Exercice 10[ 03261 ][correction]
a) Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d’un projecteur est-il égal
à sa trace ?
b) SoitA∈ Mn(K)vérifiantAq=In.
Montrer

dim ker(A−In) =q1kqX01tr(Ak)
=

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 00734 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie etGun sous-groupe de GL(E)
d’ordre finin. Montrer
dimg∈GdE)= 1ng∈XGtrg
\ker(g−I

Exercice 12Centrale MP[ 02388 ][correction]
SoitKun corps de caractéristique nulle etHune partie non vide et finie de
GLn(K)stable par multiplication.
a) SoitM∈H. Montrer quek∈N?7→Mk∈Hn’est pas injective
.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

En déduire queHest un sous-groupe de GLn(K).
Soient
q=|H|etP= 1qMX∈HM

Enoncés

b) Montrer, siM∈H, queM P=P M=P. En déduireP2=P.
c) Trouver un supplémentaire, dansMn1(K), stable par tous les éléments deH,
de
\ker(M−In)
M∈H

d) Montrer que

XtrM∈qN
M∈H

Que dire si cette somme est nulle ?

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02651 ][correction]
a) SoitGun sous-groupe de GLn(R)tel quePtrg= 0. Montrer quePg= 0.
g∈G g∈G
b) SoitGun sous-groupe fini de GLn(R),Vun sous-espace vectoriel deRnstable
par les éléments deG. Montrer qu’il existe un supplémentaire deVdansRn
stable par tous les éléments deG.

Exercice 14[ 00732 ][correction]
SoitTune forme linéaire surMn(K)vérifiant

∀A B∈ Mn(K) T(AB) =T(BA)

Etablir queT∈Vect{tr}.

Exercice 15[ 02616 ][correction]
Soitfune forme linéaire surMn(R)vérifiant

∀A B∈ Mn(R),f(AB) =f(BA)

Montrer quefest proportionnelle à la trace.

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02686 ][correction]
a) Soitfune forme linéaire surMn(R)vérifiant

∀A B∈ Mn(R),f(AB) =f(BA)

2

montrer quefest proportionnelle à la trace.
b) Soitgun endomorphisme de l’espace vectorielMn(R)vérifiantg(AB) =g(BA)
pour toutesA B∈ Mn(R)etg(In) =In. Montrer quegconserve la trace.

Exercice 17[ 03419 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Calculer la trace de l’endomorphismef∈ Mn(R)donné par

f(M) =AM+M A

Exercice 18CCP MP[ 02563 ][correction]
PourAetBfixées dansMn(R), résoudre dansMn(R)l’équation

X=tr(X)A+B

Exercice 19CCP MP[ 02547 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finien >1.
Montrer quef∈ L(E)de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer quef∈ L(E)rang 1 et de trace 1 est un projecteur.de
Trouver une base deL(E)constituée de projecteurs.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
De telles matrices n’existent pas car

et donc

Exercice 2 :[énoncé]

tr(AB) =tr(BA)

tr(AB−BA) = 06=tr(In)

On a
trA=tr(AB−BA) =tr(AB)−tr(BA) = 0
car tr(AB) =tr(BA).
Généralisons ce calcul
tr(Ap) =trAp−1(AB−BA)=tr(ApB)−trAp−1BA

Or

donc

trAp−1BA=tr(Ap−1B)A=trA(Ap−1B)=tr(ApB)

tr(Ap) = 0

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
I) Soit(e1     en)une base deEavece1     en−1∈kerfeten∈Imf. On a
f(en)∈Imf=Vect(en)donc il existeλ∈Ktel quef(en) =λenet donc
f2(en) =λf(en). Cette relation vaut aussi pour les vecteurse1     en−1et donc
par coïncidence de deux applications linéaires sur les vecteurs d’une base on peut
affirmer quef2=λf. De plus, la matrice defdans la base(e1     en)donne
λ=trf. Ainsi, pourfde rang 1,fest un projecteur si, et seulement si, trf= 1.

Exercice 4 :[énoncé]
Calculons les coefficients diagonaux de la représentation matricielle deϕdans la
base canonique formée des matrices élémentairesEij.
On aϕ(Eij) =Eij
A.
n n n
OrA=P Pak`Ek`doncϕ(Eij) =Paj`Ei`carEijEk`=δjkEi`.
k=1`=1`=1
La composant deϕ(Eij)selonEijvautajj.
n n
Par suite la trace deϕvautP Pajj=ntrA.
i=1j=1

3

Exercice 5 :[énoncé]
Supposons queMsoit semblable à une matriceM0via une matrice inversibleP
i.e.
M0P−1M P
=
Si on peut écrireM0=A0B0−B0A0alorsM=AB−BAavecA=P A0P−1et
B=P B0P−1.
On peut ainsi transformer la matriceMen une matrice semblable sans changer la
problématique.
Etablissons maintenant le résultat demandé en raisonnant par récurrence sur la
taille de la matriceM.
SiMest taille 1 : ok
Supposons la propriété établie au rangn∈N?.
SoitMune matrice carrée d’ordren+ 1de trace nulle.
Montrons queMest semblable à une matrice de la forme
0???

SiMest matrice d’une homothétie alors trM= 0permet de conclureM=On.
Sinon, il existe des vecteurs qui ne sont pas vecteurs propres de l’endomorphisme
associé àM.
Soitxun tel vecteur. En introduisant une base dont, xetf(x)sont les deux
premiers vecteurs, on obtient que la matriceMest semblable à celle voulue.
Compte tenu de la remarque préliminaire, on suppose désormais que la matriceM
est de la forme
C0ML0
avec trM0= 0.
Par l’hypothèse de récurrence on peut écrire
M0=A0B0−B0A0
Soitλ∈Kqui n’est par valeur propre de la matriceB0.
En posant
A=(λI−1B0)−1LC(B0−A0λI)−1
et
λ0

on obtient

Récurrence établie.

B0=B0

M=AB−BA

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 6 :[énoncé]
Posonsaji=ϕ(Eij).ϕ(M) =Pajimij=tr(AM)avecA= (aij).
16ij6n

Exercice 7 :[énoncé]
Puisque tr(AB) =tr(BA), on a tr[A B] = 0.ker(tr)est donc un sous-espace
vectoriel contenant{[A B]A B∈E}donc

Vect{[A B]A B∈E} ⊂ker(tr)

De plus, tr étant une forme linéaire non nulle,ker(tr)est un hyperplan.
Montrons qu’il en en est de mme de Vect{[A B]A B∈E}.
Pouri6=j,Eij= [Eii Eij]et pouri6=n,Eii−Enn= [Ein Eni].
Par suite Vect{[A B]A B∈E}contient la famille libre àn2−1éléments <

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