Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Produits

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• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Produits

Exercice 1[ 02075 ][correction]
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
n n n n n n n n
a)Qαai=αQaib)Qaibi=QaiQbic)Qai+bi=Qai+Qbi?
i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1

Exercice 2[ 02076 ][correction]
n
CalculerQ 1 +1k.
k=1

Exercice 3[ 02077 ][correction]
On désire calculer le produitP(x) =Qcos(2kx)pour toutx∈R.
06k6n
a) Commencer par traiter le casx= 0 [π].
b) Pourx6 [= 0π], simplifiersin(x)P(x)et exprimerP(x).

Exercice 4[ 02078 ][correction]
Soita∈RetP=nQ(1 +a2k).
k=0
a) CalculerPquanda= 1.
b) Calculer(1−a)Pquanda6= 1et en déduire la valeur deP.

Exercice 5[ 03498 ][correction]
Pourn∈N?, simplifier

n
Y22kk+−31
k=1

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
b)

Exercice 2 :[énoncé]
n n
Q 1 +k1=Qk+k1=2 3n+1=n+ 1.
∙ ∙ ∙
1 2n
k=1k=1

Exercice 3 :[énoncé]
a) Six= 0 [2π]alorsP(x) = 1. Six=π[2π]alorsP(x) =−1.
b)sin(x)P(x) = sinxcosxcos 2x   cos 2nx=1sin 2xcos 2x   cos 2nx=
2n1+1sin 2n+1x2
+1
doncP(x) =is2nn+(12nsin(x)).
x

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
n
a) Sia= 1alorsP=Q2 = 2n+1.
k=0
b) Sia6= 1alors
(1−a)P= (1−a)(1 +a)(1 +a2)∙ ∙ ∙(1 +a2n) = (1−a2)(1 +a2)∙ ∙ ∙(1 +a2n)donc
n
en reprennant le processus(1−a)P= (1−a2+1)puis la valeur deP.

Exercice 5 :[énoncé]
Pourn>2, on a

n2k (2+ 3n+ 3)(2n+ 1)(2n−1)×  ×5
Y2k−3= ×5×3×1
k=11 (2n−1)(2n−)×

puis après simplification

n2k+ 3 (2n+ 3)(2n+ 1)
Y2k−1 3
=
k=1

et pourn= 1
nY22kk+−53=1
k=1
ce qui rend la formule précédente encore valable.

2

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