Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Sommes doubles

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• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Sommes

doubles

Exercice 1[ 02073 ][correction]
n
A partir des valeurs connues dePk,
k=1

a)

X(i+j)2
16ij6n

b)

n
k
=1

n
Pk2etP
k=1k

Xij
16i<j6n

3, calculer :

c)
1

X

6ij

min(i j)
6n

Exercice 2[ 02074 ][correction]
Soitn∈N?. CalculerCn=P(p+q)en remarquant
16p<q6n

X

n
p+q= 2Cn+ 2Xp
16pq6n p=1

Enoncés

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
n n
a)P(i+j)2= P Pi2+ 2ij+j2puis
16ij6n i=1j=1

n n n n
X(i+j)2=nXi2+ 2X Xij+nXj2=n2(n67()1+n+ 5)
16ij6n i=1i=1j=1j=1
b)16i<Pj6nij=in=P−11j=inP+1ij=in=−P11ij=inP+1j!puis

Xij=nX−1i n2+i (+ 1n−i) =n(n−1)(n+ 1)(3n+ 2)
24
16i<j6n i=1
c)16iPj6nmin(i j) =i=nP1ijP=1j+j=nPi+1i!puis

Xmin(i j) =Xni(i)1++2i(n−i)n(n2+1)(6
=
16ij6n i=1

Exercice 2 :[énoncé]
Après réorganisation des termes

Or

et

d’où

n
Xp+q= 2Cn+ 2Xp
16pq6n p=1

n
2Xp=n(n+ 1)
p=1

n n
X Xp+q=n2(n+ 1)
p=1q=1

(n−
Cn=2)1n(n+ 1)

n+ 1)

Corrections

2

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