Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, L'anneau des polynômes

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 L’anneau des polynômes Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : 2 2a) Q =XP d’inconnues P,Q∈K[X] b) P◦P =Pue P∈K[X]. Exercice 2 Mines-Ponts MP [ 02674 ] [correction] 2 2Trouver les P∈R[X] tels que P(X ) = (X +1)P(X).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 60
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

L’anneau des polynômes

Exercice 1[ 02127 ][correction]
Résoudre les équations suivantes :
a)Q2=XP2d’inconnuesP Q∈K[X]
b)P◦P=Pd’inconnueP∈K[X].

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02674 ][correction]
Trouver lesP∈R[X]tels queP(X2) = (X2+ 1)P(X).

Exercice 3[ 02377 ][correction]
a) Pourn∈N, développer le polynôme

(1 +X)(1 +X2)(1 +X4)  (1 +X2n)

b) En déduire que tout entierp >0s’écrit de façon unique comme somme de
puissance de 2 :1248   

Exercice 4X MP[ 00271 ][correction]
SoitP∈C[X]non constant et tel queP(0) = 1. Montrer que :

∀ε >0∃z∈C|z|< εet|P(z)|<1

Exercice 5[ 03342 ][correction]
SoitP=a0+a1X+∙ ∙ ∙+anXn∈C[X]. On pose

M= sup|P(z)|
|z|=1

Montrer
∀k∈ {0     n}|ak|6M
(indice : employer des racines de l’unité)

Exercice 6CCP MP[ 02553 ][correction]
Soit(Pn)n∈N?la suite de polynômes définie par

P1=X−2et∀n∈N? Pn+1=P

Calculer le coefficient deX2dansPn.

n2−2

Enoncés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Si(P Q)est un couple solution de polynômes non nuls alorsQ2=XP2donne
2 degQ deg= 1 + 2PavecdegPdegQ∈Nce qui est impossible. Il reste le cas où
l’un des polynômesPouQest nul et l’autre, alors, l’est aussi. Inversement, le
couple nul est effectivement solution.
b) SidegP>2alorsdegP◦P= (degP)2>degPet doncPn’est pas solution.
SidegP61alors on peut écrireP=aX+bet alors
a
P◦P=P⇔a(aX+b) +b=aX+b⇔(a2b==a0

Après résolution on obtient

(a= 1etb= 0)ou(a= 0etbquelconque)

Finalement les solutions sont le polynômeXet les polynômes constants.

Exercice 2 :[énoncé]
Parmi les polynômes constants, seuls le polynôme nul est solution.
SidegP>1alors, pour vérifier l’équation, il est nécessaire quedegP= 2. On
peut alors écrirePsous la formeaX2+bX+c. Parmi, les polynômes de cette
forme, ceux solutions sont ceux obtenus pourb= 0etc=−a. Conclusion, les
polynômes solutions sont lesa(X2−1)aveca∈R.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Posons
P(X) = (1 +X)(1 +X2)(1 +X4)  (1 +X2n)
En exploitant successivement(a−b)(a+b) =a2−b2, on obtient

(1−X)P(X) = 1−X2n+1

On en déduit
X 1) =−X2n+1
P(1−X= 1 +X+X2+∙ ∙ ∙+X2n+1−1
b) Lorsqu’on développe directement le polynômeP, le coefficient deXkobtenu
correspond au nombre de fois qu’il est possible d’écrirekcomme la somme des
puissances de 2 suivantes :124    2nCe nombre vaut 1 compte tenu de.
l’exercice précédent.

Exercice 4 :[énoncé]
Puisque le polynômePest non constant, on peut écrire

P(z) = 1 +aqzq+zq+1Q(z)

avecaq6= 0etQ∈C[X].
Posonsθun argument du complexeaqet considérons la suite(zn)de terme
général
zn= 1 ei(π−θ)q
n
On azn→0et
P(zn) = 1− |anqq|+on1q

donc|P(zn)|<1pournassez grand..

Exercice 5 :[énoncé]
Soitω= e2iπ(n+1)une racinenème de l’unité. On a

P(1) +P(ω) +∙ ∙ ∙+P(ωn) = (n+ 1)a0

car
k=nX0ωk`n0+1inssi`on [= 0n+ 1]
=
On en déduit(n+ 1)|a0|6(n+ 1)Mpuis|a0|6M.
De façon plus générale, on a

P(1) +ω−kP(ω) +∙ ∙ ∙+ω−nkP(ωn) = (n+ 1)ak

et on en déduit|ak|6M.

2

Exercice 6 :[énoncé]
Notonsan bnetcnles coefficients de1 XetX2dansPn.
=
PuisqueP1=X−2, on aa1=−2,b1= 1etc10.
PuisquePn+1=Pn2−2, on aan+1=an2−2,bn+1= 2anbnetcn+1=b2n+ 2ancn.
On en déduita2= 2,b2=−4etc2= 1puis pourn>3:an= 2,bn=−4n−1,

cn= 4n−2+ 4n−1+∙= 4n−24n−1−1
∙ ∙+ 42n−43

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