Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Nilpotence
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Nilpotence Exercice 6 X MP [ 00938 ] [correction] ?Soient n∈N , A et B dansM (C) et λ ,...,λ ,λ deux à deux distincts dansn 1 n n+1 C. On suppose, pour 16i6n + 1, que A +λ B est nilpotente.iExercice 1 [ 00863 ] [correction] Montrer que A et B sont nilpotentes.Soit A∈M (C) une matrice nilpotente.n a) Montrer que A est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. b) Le résultat est-il encore vrai pour A∈M (R)?n Exercice 7 X MP [ 03023 ] [correction] Soient E unC-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). On noteI ={P∈C [X]/P (u) = 0} etI ={P∈C [X]/P (u) est nilpotent}.1 2Exercice 2 [ 00837 ] [correction] a) Montrer queI etI sont des idéaux non nuls deC [X].1 2Soit u un endomorphisme d’unC-espace vectoriel E de dimension finie. On note P et P leurs générateurs unitaires respectifs.1 2Montrer que u possède une seule valeur propre si, et seulement si, il existe λ∈C b) Etablir un lien entre P et P .1 2tel que u−λId soit nilpotent.E c) Montrer l’existence de Q∈I tel que u−Q(u) est diagonalisable2 Exercice 3 [ 00828 ] [correction] Exercice 8 X PC [ 03095 ] [correction] Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie, f et g deux endomorphismes Soit Φ :M (R)→R vérifiant2de E vérifiant f◦g−g◦f =f 0 1 ∀A,B∈M (R), Φ(AB) = Φ(A)Φ(B) et Φ = Φ(I )2 21 0a) Calculer n nf ◦g−g◦f a) Démontrer que Φ(O ) = 0.2 0b) Soit P un polynôme. Montrer que si P (f) = 0 alors f◦P (f) = 0.

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Nilpotence

Exercice 1[ 00863 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)une matrice nilpotente.
a) Montrer queAsemblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.est
b) Le résultat est-il encore vrai pourA∈ Mn(R)?

Enoncés

Exercice 2[ 00837 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unC-espace vectorielEde dimension finie.
Montrer queupossède une seule valeur propre si, et seulement si, il existeλ∈C
tel queu−λIdEsoit nilpotent.

Exercice 3[ 00828 ][correction]
SoientEun espace vectoriel réel de dimension finie,fetgdeux endomorphismes
deEvérifiant
f◦g−g◦f=f
a) Calculer
fn◦g−g◦fn

b) SoitPun polynôme. Montrer que siP(f) = 0alorsf◦P0(f) = 0.
c) En déduire quefest un endomorphisme nilpotent.

Exercice 4[ 00865 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimensionnetf∈ L(E).
a) Montrer quefest nilpotent si, et seulement si,

Sp(f) ={0}

b) Montrer quefest nilpotent si, et seulement si,

∀16k6ntr(fk) = 0

Exercice 5[ 03031 ][correction]
SoitA∈ Mn(C). On considère l’endomorphismeTdeMn(C)défini par

T(M) =AM−M A

a) On suppose que la matriceAest nilpotente.
Montrer que l’endomorphismeTest aussi nilpotent.
b) Réciproque ?

1

Exercice 6X MP[ 00938 ][correction]
Soientn∈N?,AetBdansMn(C)etλ1     λn λn+1deux à deux distincts dans
C. On suppose, pour16i6n+ 1, queA+λiBest nilpotente.
Montrer queAetBsont nilpotentes.

Exercice 7X MP[ 03023 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E).
On noteI1={P∈C[X]P(u) = 0}etI2={P∈C[X]P(u)est nilpotent}.
a) Montrer queI1etI2sont des idéaux non nuls deC[X].
On noteP1etP2leurs générateurs unitaires respectifs.
b) Etablir un lien entreP1etP2.
c) Montrer l’existence deQ∈ I2tel queu−Q(u)est diagonalisable

Exercice 8X PC[ 03095 ][correction]
SoitΦ :M2(R)→Rvérifiant

∀A B∈ M2(R)Φ(AB) = Φ(A)Φ(B)etΦ

0
1

1
0

6= Φ(I2)

a) Démontrer queΦ(O2) = 0.
b) SiAest nilpotente, démontrer queΦ(A) = 0.
c) SoientA∈ M2(R)etBla matrice obtenue à partir deAen permutant les
lignes deA.
Démontrer queΦ(B) =−Φ(A).
d) Démontrer queAest inversible si, et seulement si,Φ(A)6= 0.

Exercice 9Centrale MP[ 01959 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice nilpotente non nulle. On appelle indice de
nilpotence deAle nombre entier
Ind(A) = mink∈N?Ak= 0

1. Quelle est la dimension de l’algèbreK[A]engendrée parA?
2.a) SoitP∈K[X]tel queP(0) = 1. Démontrer que la matriceB=AP(A)est
nilpotente, de mme indice queA.
2.b) En déduire qu’il existe un polynômeQ∈K[X]vérifiantQ(0)6= 0et
A=BQ(B).
3. Cette question doit tre traitée avec le logiciel de calcul formel. On considère la
matriceA∈ M8(R)définie par :
∀(i j)∈[18]2 A[i j] = 1sii=j−1ou sii=j−4et 0 sinon

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

3.a) Vérifier queAest nilpotente et calculer son indice de nilpotence.
3.b) On suppose ici queP= 1 +X+ 2X2+ 3X3etB=AP(A). Déterminer
explicitement un polynômeQde coefficient constant non nul tel queA=BQ(B).
Indication : on peut chercherQde degré strictement inférieur à l’indice de
nilpotence deA.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 10Mines-Ponts PC[ 01956 ][correction]
Soientn>2etA= (aij)16ij6n∈ Mn(R)oùaii+1= 1pouri∈ {1     n−1},
les autres coefficients étant nuls.
a) La matriceAest-elle diagonalisable ?
b) Existe-t-ilB∈ Mn(R)vérifiantB2=A?

Exercice 11[ 01677 ][correction]
SoientA∈GLn(C)etN∈ Mn(C)nilpotente telles que
AN=N A

Montrer que

det(A+N) = detA

Exercice 12Centrale MP[ 00867 ][correction]
SoitA∈ Mn(C). On suppose qu’il existep∈N?tel queAp= 0.
a) Montrer queAn= 0.
b) Calculerdet(A+In).
SoitM∈ Mn(C)tel queAM=M A.
c) Calculerdet(A+M)(on pourra commencer par le cas oùM∈GLn(C)).
d) Le résultat est-il vrai siMne commute pas avecA?

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02690 ][correction]
SoitAetBdes matrices complexes carrées d’ordren. On supposeA+ 2kB
nilpotente pour tout entierktel que06k6n. Montrer queAetBsont
nilpotentes.

Exercice 14[ 03253 ][correction]
Soientnun entier naturel non nul etEunC-espace vectoriel de dimensionn.

a) Montrer qu’il existe un polynômePn∈R[X]vérifiant au voisinage de 0
√1 +x=Pn(x) +O(xn)

b) Etablir queXndivise alors le polynômePn2(X)−X−1.
˜
c) Soitfun endomorphisme deEvérifiantfn= 0.
Montrer qu’il existe un endomorphismegdeEvérifiant

g2=IdE+f

2

d) Soit maintenantfun endomorphisme deEne possédant qu’une valeur propre
λ.
˜
Montrer que(f−λIdE)n= 0et conclure qu’il existe un endomorphismegdeE
vérifiant
g2=f

Exercice 15[ 03372 ][correction]
SoientA B∈ Mn(C). On suppose que la matriceAest nilpotente et que la
matriceBcommute avecA. Que dire de tr(AB)?

Exercice 16X MP[ 03477 ][correction]
SoitA∈ Mn(R).
a) On supposeA3=A2. Montrer queA2est diagonalisable et queA2−Aest
nilpotente.
b) Plus généralement on supposeAk+1=Akpour un certain entierk >0.
Etablir l’existence d’un entierp >0tel queApest diagonalisable etAp−A
nilpotente.

Exercice 17Mines-Ponts PC[ 03763 ][correction]
Pourn>2, on noteHun hyperplan deMn(K)ne contenant aucune matrice
inversible.
a) Montrer queHcontient toutes les matrices nilpotentes.
b) En déduire que tout hyperplan deMn(K)rencontre GLn(K).

Exercice 18[ 03765 ][correction]
SoientA M∈ Mn(C)avecMmatrice nilpotente.
a) On supposeM A=On. Montrer que les matricesA+MetAont le mme
polynôme caractéristique.
b) Mme question en supposant cette fois-ciAM=On.

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Enoncés

Exercice 19Centrale PC[ 03616 ][correction]
Soientn∈NetE=Mn(C). On noteE?=L(EC)leC-espace vectoriel des
formes linéaires surE.
?
a) Montrer queL:E→E,A7→LAoùLAest la forme linéaireM7→tr(AM)
est un isomorphisme
d’espaces vectoriels. En déduire une description des hyperplans deE.
b) SoitT∈ Mn(C)une matrice triangulaire supérieure non nulle etH= kerLT.
On noteTn+(respectivementTn−) le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires
supérieures (respectivement inférieures) à diagonales nulles.
DéterminerH∩Tn+.
En discutant selon queTpossède ou non un coefficient non nul (au moins) hors
de la diagonale, déterminer la dimension deH∩Tn−.
c) Une matriceA∈ Mn(C)est dite nilpotente s’il existek∈Ntel queAk= 0.
Prouver que les éléments deTn+∪Tn−sont des matrices nilpotentes.
En déduire queHcontient au moinsn2−n−1matrices nilpotentes linéairement
indépendantes.
d) Montrer que tout hyperplan deEcontient au moinsn2−n−1matrices
nilpotentes linéairement indépendantes.
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) SiA∈ Mn(C)alorsAest triangularisable et lors de cette triangularisation les
valeurs propres deAapparaissent sur la diagonale. OrAest nilpotent donc 0 est
sa seule valeur propre et la diagonale de la matrice triangulaire obtenue est nulle.
Le polynôme caractéristique deA∈ Mn(C)est alors égal à(−1)nXn.
b) PourA∈ Mn(R), on a aussiA∈ Mn(C)et le polynôme caractéristique est
calculé par la mme formule dans les deux cas. Par suite le polynôme
caractéristique pourA∈ Mn(R)est scindé et donc à nouveauAest
triangularisable avec des 0 sur la diagonale.

Exercice 2 :[énoncé]
Siupossède une unique valeur propreλalors celle-ci est la seule racine

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