Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Formes différentielles

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Formes différentielles Exercice 1 [ 00258 ] [correction] a) Montrer que la forme différentielle ω = (x +y) dx + (x−y) dy est exacte et déterminer une primitive de ω. b) Résoudre alors l’équation différentielle 0x +y + (x−y)y = 0 dont l’inconnue est la fonction y de la variable réelle x. Exercice 2 CCP MP [ 03368 ] [correction] a) Montrer que la forme différentielle 2 2 ω(x,y) = (xy−y + 1)dx + (x −xy− 1)dy n’est pas fermée. b) Déterminer les fonctions f :R→R dérivable telle que la forme différentielle ω(x,y)f(xy) soit exacte et déterminer ses primitives. Exercice 3 CCP MP [ 03367 ] [correction] a) Montrer que la forme différentielle 2 2ω(x,y) = (xy−y + 1)dx + (x −xy− 1)dy n’est pas fermée. b) Déterminer les fonctions f :R→R dérivable telle que la forme différentielle ω(x,y)f(xy) soit exacte et déterminer ses primitives. Exercice 4 CCP MP [ 02566 ] [correction] 2 2La forme différentielle ω(x,y) =x dy +y dx est-elle fermée? Exacte? Donner l’ensemble des cercles (parcourus une fois dans le sens direct) le long desquels ω est nulle? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Formes différentielles

Exercice 1[ 00258 ][correction]
a) Montrer que la forme différentielleω= (x+y) dx+ (x−y) dyest exacte et
déterminer une primitive deω.
b) Résoudre alors l’équation différentielle

x+y+ (x−y)y0= 0

dont l’inconnue est la fonctionyde la variable réellex.

Exercice 2CCP MP[ 03368 ][correction]
a) Montrer que la forme différentielle

ω(x y) = (xy−y2+ 1)dx+ (x2−xy−1)dy

n’est pas fermée.
b) Déterminer les fonctionsf:R→Rdérivable telle que la forme différentielle

ω(x y)f(xy)

soit exacte et déterminer ses primitives.

Exercice 3CCP MP[ 03367 ][correction]
a) Montrer que la forme différentielle

ω(x y) = (xy−y2+ 1)dx+ (x2−xy−1)dy

n’est pas fermée.
b) Déterminer les fonctionsf:R→Rdérivable telle que la forme différentielle

ω(x y)f(xy)

soit exacte et déterminer ses primitives.

Exercice 4CCP MP[ 02566 ][correction]
La forme différentielleω(x y) =x2dy+y2dxest-elle fermée Exacte ? ?
Donner l’ensemble des cercles (parcourus une fois dans le sens direct) le long
desquelsωest nulle ?

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Après étude du système différentiel
x∂f∂(x y) =x+y
∂y(x y) =x−y
∂f

Corrections

on vérifie aisément que
f(x y)=21x2+xy−21y2
est une primitive de la forme différentielleω.
b) Soityune solution surIde l’équation différentielle étudiée.
Pour toutx∈I, on a
d(f( y(x)) = 0
dx x
doncx7→f(x y(x))est une fonction constante. En posantλla valeur de cette
constante, on obtient
∀x∈I y2−2xy−x2+ 2λ= 0

puis
∀x∈I x2−λ>0ety(x) =x+ε(x)p2x2−2λavecε(x) =±1
Pourλ <0, la quantitéx2−λest strictement positive surR. Puisque la fonction

ε:x7→ε(x) =√y(2xx2)−−2λx

est continue et ne prend que les valeurs 1 ou−1, elle est constante et donc
∀x∈I y(x) =x+p2x2−2λou∀x∈I y(x) =x−p2x2−2λ

Pourλ >0, quand la quantitéx2−λs’annule, elle change de signe et ce ne peut
donc qu’tre en une extrémité de l’intervalleI. Par un argument de continuité
semblable au précédent, on obtient encore
∀x∈I y(x) =x+p2x22λou∀x∈I y(x) =x−p2x2−2λ
−

et puisque la fonctionyest dérivable surI, on a nécessairementx2−λ >0surI.
Pourλ= 0.
SiI⊂R+ouI⊂R−alors comme pour ce qui précède on obtient
∀x∈I y(x) = (1 +√2)xou∀x∈I y(x) = (1√−2)x

2

Sinon, par dérivabilité d’un raccord en 0 d’une solution surI∩R+et surI∩R−,
on obtient encore
∀x∈I y(x) = (1 +√2)xou∀x∈I y(x) = (1−√2)x

Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions en vertu des calculs qui
précèdent.
Pour résumer, les solutions maximales de l’équation différentielle étudiée sont
-x→(1 +√2)xetx7→(1√−2)xsurR;
-x7→x+√2x2+ 2λetx7→x+√2x2−2λsurRpourλ <0;
-x7→x+√2x2+ 2λetx7→x+√2x2−2λsuri−∞−√λheti√λ+∞hpour
λ >0.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Posons
P(x y) =xy−y2+ 1etQ(x y) =x2−xy−1

Puisque

∂Q6=∂∂Py
∂x

la forme différentielleωn’est pas fermée.
b) La forme différentielle
θ(x y) =ω(x y)f(xy)
est de classeC1sur l’ouvert étoiléR2, elle est donc exacte si, et seulement si, elle
est fermée. Cela équivaut à la satisfaction pour tout(x y)∈R2de l’équation

(2x−y)f(xy) +y(x2−xy−1)f0(xy) = (2y−x)f(xy) +x(xy−y2+ 1)f0(xy)

Après simplification, on obtient

(x+y) (f(xy)−f0(xy)) = 0

Par suitefest solution du problème posé si, et seulement si,fest solution de
l’équation différentielle
y0(t) =y(t)

Après résolution de cette équation différentielle linéaire d’ordre 1, on obtient la
solution générale
f(t) =λetavecλ∈R

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On obtient alors une primitiveUde la fonction forme différentielle étudiée en
résolvant le système
∂U∂x(x y) =λexy(xy−y2+ 1)
y∂U∂(x y) =λexy(x2−xy−1)
Au terme des calculs, on obtient

U(x y) =λ(x−y)exy+C

Exercice 3 :[énoncé]
a) Posons
P(x y) =xy−y2+ 1etQ(x y) =x2−xy−1

Corrections

Puisque
∂P
∂∂xQ6∂y
=
la forme différentielleωn’est pas fermée.
b) La forme différentielle
θ(x y) =ω(x y)f(xy)
est de classeC1sur l’ouvert étoiléR2, elle est donc exacte si, et seulement si, elle
est fermée. Cela équivaut à la satisfaction pour tout(x y)∈R2de l’équation

(2x−y)f(xy) +y(x2−xy−1)f0(xy) = (2y−x)f(xy) +x(xy−y2+ 1)f0(xy)

Après simplification, on obtient

(x+y) (f(xy)−f0(xy)) = 0

Par suitefest solution du problème posé si, et seulement si,fest solution de
l’équation différentielle
y0(t) =y(t)

Après résolution de cette équation différentielle linéaire d’ordre 1, on obtient la
solution générale
f(t) =λetavecλ∈R

On obtient alors une primitiveUde la fonction forme différentielle étudiée en
résolvant le système
∂U(x) =λexy(xy−y2+ 1)
∂x  y
U∂y∂(x y) =λexy(x2−xy−1)

Au terme des calculs, on obtient

U(x y) =λ(x−y)exy+C

Exercice 4 :[énoncé]
ωn’est pas fermée et a fortiori ni exacte.
Considérons le cercleΓobtenu par le paramétrage
(x=a+Rcost

ave
y=b+Rsintct∈[02π]

3

On a
ZΓω=Z02π(a+Rcost)2Rcost−(b+Rsint)2Rsintdt=Z02π2aR2cos2t+ 2bR2sin2tdt
car
Z02πcostdt=Z20πcos3tdt= 0
Ainsi
ZΓω= 2π(a+b)R2
Les cercles recherchés sont ceux centrés sur la droite d’équationx+y= 0.

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