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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 41 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Distance d’un vecteur à une partie
Enoncés
Exercice 1[ 03272 ][correction]
On norme l’espace`∞(NR)des suites bornées par la norme infinie notéekk∞.
Déterminer la distance de la suiteeconstante égale à 1 au sous-espace vectorielC0
des suites réelles convergeant vers 0.
Exercice 2[ 03273 ][correction]
On norme l’espace`∞(NR)des suites bornées par la norme infini notéekk∞.
Déterminer la distance de la suiteu= ((−1)n)n∈Nau sous-espace vectorielCdes
suites réelles convergentes.
Exercice 3[ 00470 ][correction]
On norme l’espace`∞(NR)des suites bornées par la norme infini notéekk∞.
Pourx∈`∞(NR), on noteΔxla suite de terme général
Δx(n) =x(n+ 1)−x(n)
puis on formeF={Δxx∈`∞(NR)}.
Déterminer la distance de la suiteeégale à 1 au sous-espace vectorielconstante F.
Exercice 4[ 03463 ][correction]
SoitEl’espace des fonctions bornées de[−11]versRnormé par
kfk∞= sup|f(x)|
x∈[−11]
Déterminer la distance de la fonction
1 ]01]
−1siisxx∈∈[−10[
f:x7→0six= 0
au sous-espace vectorielFdeEformé des fonctions continues de[−11]versR.
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Puisque0∈ C0, on a déjà
Soitx∈ C0. On a
et donc quandn→+∞
On en déduit
et doncd(eC0) = 1.
Exercice 2 :[énoncé]
Puisque0∈ C0, on a déjà
d(eC0)6d(e0) =kek∞= 1
|xn−1|6kx−ek∞
16kx−ek∞
d(eC0)>1
d(uC)6d(u0) =kuk∞= 1
Soitx∈ Cet`∈Rsa limite. Pourn= 2ppair
|x2p−u2p|6kx−uk∞
donne|x2p−1|6kx−uk∞puis à la limite
|`−1|6kx−uk∞
De mme avecn= 2p+ 1impair on obtient
On en duite
On en déduit
|`+ 1|6kx−uk∞
1−`1
|1|=1+2`+262 (|1 +`|+|1−`|)6kx−uk∞
et doncd(uC) = 1.
d(uC)>1
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
Puisque0∈F,d(e F)6d(e0) = 1.
En raisonnant par l’absurde montronsd(e F) = 1en supposantd(e F)<1.
Il existe alors une suitex∈ B(Rn)vérifiantkΔx−ek∞=ρavecρ <1.
Pour toutk∈N,|Δx(k)−1|6ρdoncΔx(k)>1−ρ.
En sommant ces inégalités pourkallant de 0 àn−1, on obtient
x(n)−x(0)>n(1−ρ)et doncx→+∞.
Ceci contreditx∈`∞(NR)et permet de conclure.
Exercice 4 :[énoncé]
Par définition
d(f F in) =∈fFkf−gk∞
g
Puisque la fonction nulle est continue
˜
d(f F)6f−0= 1
∞
Inversement, soitg∈F.
Pour toutx >0.
|f(x)−g(x)|=|1−g(x)|6kf−gk∞
donc à la limite quandx→0+
De mme, pourx <0,
|1−g(0)|6kf−gk∞
|f(x)−g(x)|=|1 +g(x)|6kf−gk∞
et donc à la limite quandx→0−
On en déduit
|1 +g(0)|6kf−gk∞
26|1 +g(0)|+|1−g(0)|62kf−gk∞
et donc
16kf−gk∞
Finalement16d(f F)puisd(f F) = 1.
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Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD