Sujet : Analyse, Intégration, Sommes de Riemann

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Sommes de Riemann Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02823 ] [correction] Soient f :R→R convexe, a,b réels avec a 0, x− x 6 sinx6x donc|sinx−x|6Mx avec M = 1/6.6 On a alors donc 3 k k k M2 3/2 sin − 6M. 6S ∼ n 2 2 6 3n n n n n3 donc n n X Xk k k k M sin sin − sin 6 → 0 Exercice 3 : [énoncé] 2 2 2 n n n n n k=1 k=1On a Or !1 Zn n n 1n X X X(2n)! 1 1 k k k ln = (ln(n+k)−lnn) = ln 1+ sin → tsintdt n 2n n! n n n n n 0k=1 k=1 k=1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Corrections 3 donc donc par continuité nX k k ! ! Zsin sin → sin1−cos1 nb X2 1 1 b−an n k=1 f g(t)dt = lim f g a+k b−a n→+∞ n na1 3 2 2 0 4 0 k=1Pour x> 0, x− x 6 sinx6x donne aussi sin x−x 6M x avec M = 1/3.6 Ainsi Par l’inégalité de Jensenn n n X X X 01 1 1 M 2 0 ! sin √ − 6M 6 → 0 n n2 X X k+n (k+n) nk+n 1 b−a 1 b−a k=1 k=1 k=1 f g a+k 6 f g a+k n n n nOr k=1 k=1Zn n 1X X1 1 1 dx = → = ln2 En passant cette relation à la limite, on peut conclure.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Sommes de Riemann

Exercice 1[ 01998 ][correction]
Déterminer les limites des suites définies par le terme général suivant :

n n n1
a)kX=1n2+kn2b)kX=1n2k+k2c)k=X1√n2+ 2kn

Enoncés

Exercice 2[ 01999 ][correction]
En faisant apparaître une somme de Riemann, déterminer un équivalent simple de

n
Sn=X√k
k=1

Exercice 3[ 00744 ][correction]
Déterminer la limite de la suite de terme général
1
(n2nnn!!)n

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02785 ][correction]
Etudier les limites dek=Qn11 +nk1net dek=nQ11 +nk21n.

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02786 ][correction]
Calculer les limites de
n
k=1inknnk2etk=Xn1sin2√k1+n
Xsnsi

lorsquen→+∞.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02787 ][correction]
Sin∈N?etx∈R, soitfn(x) =nPsin(kkx).
k=1
Soitxnplus petit réel strictement positif en lequelle fnatteint un maximum
local. Calculerlimfn(xn).

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02823 ][correction]
Soientf:R→Rconvexe,a bréels aveca < b,g: [a b]→Rcontinue. Montrer
que
fb1−aZbag(t) dt!1aZabf(g(t)) dt
6
b−

Exercice 8[ 00193 ][correction]
Soitf: [0 π]→Rde classeC1.
Déterminer la limite quandn→+∞de
Z0πf(t)|sin(nt)|dt

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03198 ][correction]
Déterminer un équivalent quandn→+∞de

n1
un=kX=1(n+ 2k)3

Exercice 10[ 03768 ][correction]
Etudier la suite suivante

r(1) +r(2) +∙ ∙ ∙+r(n)
un=
n2

avecr(k)le reste de la division euclidienne denpark.
Indice : étudier la suite suivante

v(n−r(1)) + (n−r(22)) +∙ ∙ ∙+ (n−r(n))
n=
n

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)
π
k=nX1n2+kn2= 1nnkX=111+(kn)2n−−−−→Z101 +dtt2=
→+∞4
b)
nX XnZ1

k1kn xdx ln 2= 1
−−−−
k=1n2+k2=nk=11 + (kn)2n→+∞→01 +x22

Corrections

c)
X1n−→−+−−∞→Z10√1d+x2x=√1 + 2x01=√3−1
kX=n1√n212+kn= 1nk=n1p1 + 2kn

Exercice 2 :[énoncé]
On peut écrire
Sn=n√n1nk=nX1rkn!
et
1nnkX=1rkn=n1k=Xn1kn
f
avecf:t7√→tdéfinie et continue sur[01].
Par somme de Riemann
n1kn=X1fnk→Z01f(t) dt=23t32103=2

donc

Sn∼32n32

Exercice 3 :[énoncé]
On a
1
ln(n2nnn!)!n!= 1nnkX=1(ln(n+k)−lnn) =n1kXn=1ln1 +nk

La fonctionx→ln(1 +x)étant continue sur[01], on obtient
ln(n2nnn!)!n1!n−→−−+−∞→Z01ln(1 +x) dx= 2 ln 2−1

On en déduit

1
!
(n2nnn!)n→4e

Exercice 4 :[énoncé]
n
Yt)dt ln 2= 2−1
lnk=11 +kn!1n= 1nnkX=1ln1 +nk→Z01ln(1 +
donc
kYn=11 +k!1n4e
→
n
1donc
Pourk∈ {1     n},nk26n
1
16nY 1 +kn2!1n6n
1 +
k=1

puis

nkY=11 +nk2!1n→1

Exercice 5 :[énoncé]
Pourx>0,x−16x36sinx6xdonc|sinx−x|6M x3avecM= 16.
On a alors
k k k3M
−
sinn2n26nM66n3
donc
Xnk knX kk M

Or

k=1sinnsinn2−k=1sinn n26n2→0
nsinnknk2→Z1intdt
X0ts
k=1

2

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Corrections

donc
k
knX=1sinnksinn2→sin 1−cos 1
Pourx>0,x−61x36sinx6xdonne aussisin2x−x26M0x4avecM0= 13.
Ainsi
nM0nX1M0
kX=1sin2√k1+n−kXn=1k1+n6k=1(k+n)26n→0
Or
kXn=1k+1n=k=11 +kn→Z01+1dxx 2= ln
1nnX1
donc
Xn1

Exercice 6
On a

donc

k=1sin2√k+n→ln 2

:[énoncé]
fn0(x) =Xncoskx= cos (n+ 1)xsinxn2x
k=12 sin2

π
x=
nn+ 1

Par suite
fn(xn) =kXn1sinknk+π1=n1+nXsinnk+nk+1π1
1
=k=1
Or la fonctiont7→sin(πt)tpeut tre prolonger en une fonction continue sur[01]
donc par somme de Riemann
fn(xn)→Z10sin(πt)dt
t

Exercice 7 :[énoncé]
Il est « à savoir »qu’une fonctionf:R→Rconvexe est obligatoirement
continue. . .
Par les sommes de Riemann,
b−1aZbag(t) dt=nl→i+m∞1nk=Xn1ga+k b−an

donc par continuité
fb1−aZbag(t) dt!=nl→i+m∞f1nk=Xn1gn!
a+k b−a

Par l’inégalité de Jensen
1nk=X1ga+k b−na!6n1kXn=1fga+ nk b−a
f
n

En passant cette relation à la limite, on peut conclure.

Exercice 8 :[énoncé]
Par le changement de variableu=nt
1
Z0πf(t)|sin(nt)|dt=Z0nπf(un)|sinu|du
n

En découpant l’intégrale par la relation de Chasles
1k
Z0πf(t)|sin(nt)|dt= 1nnX−0Zk(π+1)πf(un)|sinu|du
k=

puis par translation de la variable
Z0πf(t)|sin(nt)|dt= 1nknX−10=Z0πfu+nπksinudu

et on peut alors écrire
Z0πf(t)|sin(nt)|dt= 1nkn=X−01Z0πfu+nπk−fπnksinudu+ 1nnk=−X01Z0πf

D’une part
1nkn=X−01Z0πfnπksinud 2nk−X1=0fnkπ
u=
n
se reconnaît comme étant une somme de Riemann et donc
n1kn=X−01Z0πfnπksinudu→2Z01f(πt) dt= 2πZ0πf(t) dt

3

knπsin

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Corrections

4

D’autre part, la fonctionfétant de classeC1sur le segment[0 π]elle y est puis
nk
M-lipschitzienne avecvn=n1Xnhnki
M= sup|f0|k=1
[0π]
ce qui fait penser à une somme de Riemann associée à la fonctionf:t7→t[1t]
et on a alors définie et continue par morceaux sur]01]. Bien qu’elle soit prolongeable par
1nknX=−10Z0πfu+knπfπknsinudu6n1kn=X−01Z0πnuMsinudu=MnZ0πusinucnddno’eouixitscn→uneatp0adpbtusssoicvsinpemeee’dnstauespergomleonntgiitoénfienni0e,dcdreyolpmesthéontletemeirecèrem[d0nuti1nc]ruacmfoiumxoesaxrusmuarepostidapaqiulete)téletarurso[’e0osn1d]ultp(einee
−
On en déduit Riemann : cela va nous obliger à un petit découpage. . .
π
Z0in(nt)|dt→π2Z0πf(t) dtSoitN∈N?. On peut écrir1e[nN
f(t)|s
Notons que le résultat peut aussi tre établi d’une façon semblable pourf vn=nX]nkhkni+n1Xnknhnki
seulement continue en exploitant l’uniforme continuité defsur le segment[0 π].k=1k=[nN]+1

Exercice 9 :[énoncé]
On peut écrire

1 1
un= 13Xn=Sn
nk=1(1 + 2kn)3n2

avec
Sn= 1n
nX2+1(1kn)3
k=1
Par les sommes de Riemann, on a
12
Snn−→−+−−∞→Z10(1+dt2t)3=−142+1(t)209
=

On en déduit

2
un∼9n2

Exercice 10 :[énoncé]
La division euclidienne denparks’écrit

et donc

n= [nk]k+r(k)

n−r(k) =k[nk]

D’une part
[nN]k1
1nXnhkni6[nXN]16[Nnn]6N1
n
k=1k=1
et d’autre part, par les sommes de Riemann
1n1
n−[nN]k=[nXN]+1knhknin−→−+−−∞→Z1Nt[1t] dt

Par le changement de variableu= 1t
Z11Nt[1t] dt=Z1N[uu3d]u=kN=X1Zkk+1uk3du

puis
Z11[1t] dt2=1k=XN1(k1)1+2&#