Sujet : Analyse, Séries entières, Continuité en une extrémité de l'intervalle de convergence

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité en une extrémité de l’intervalle de Exercice 4 Centrale MP [ 03244 ] [correction] P nSoit f la fonction somme dans le domaine réel d’une série entière a x denconvergence rayon de convergence R = 1. On suppose l’existence d’un réel Exercice 1 CCP MP [ 02394 ] [correction] P nSoit a x une série entière de rayon de convergence R = 1. ‘ = lim f(x)n −x→1 Pour x∈ ]−1,1[, on définit P+∞X a) Peut-on affirmer que la série numérique a converge et que sa somme vaut‘?nnS(x) = a xn b) Que dire si l’on sait de plus a =o(1/n)? [Théorème de Tauber]n n=0 On suppose que la suite (a ) est à termes réels positifs et que la fonction S estn bornée sur [0,1[ P Exercice 5 CCP MP [ 03307 ] [correction] a) Montrer que a est une série convergente.n Soit (f ) la suite des fonctions donnée parn b) Montrer que ! +∞ +∞ n nX X ∀n> 2,∀x∈R,f (x) = (−1) ln(n)xn nlim a x = an n −x→1 Pn=0 n=0 a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière f .n On note S sa somme. b) Montrer queExercice 2 [ 03245 ] [correction]P n !Soit a x une série entière de rayon de convergence R = 1 avecn +∞X1 1n+1 n+1∀x∈ ]−1,1[,S(x) = (−1) ln 1+ x ∀n∈N,a > 0n 1+x n n=1 Pour x∈ ]−1,1[, on pose −c) En déduire que S admet une limite en 1 et que+∞X n !S(x) = a xn +∞X1 1n=0 n+1lim S(x) = (−1) ln 1+ −x→1 2 net on suppose que la fonction S est bornée. n=1P a) Montrer que la série a est convergente.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 50
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

c) En déduire queSadmet une limite en1−et que
xl→im1−S(x2=1)n+=X∞1(−1)n+1ln1 + 1n!

d) Calculer la limite ci-dessus en utilisant la formule de Wallis

lim+∞21××43×∙×∙∙∙∙×∙(×(2n2n−))1√n=√1
n→π

Exercice 1CCP MP[ 02394 ][correction]
SoitPanxnsérie entière de rayon de convergenceune R= 1.
Pourx∈]−11[, on définit
+∞
S(x) =Xanxn
n=0
On suppose que la suite(an)est à termes réels positifs et que la fonctionSest
bornée sur[01[
a) Montrer quePanest une série convergente.
b) Montrer que
xli→m1−+X∞anxn!=+X∞an
n=0n=0

`= limf
x→1(x)
−
a) Peut-on affirmer que la série numériquePanconverge et que sa somme vaut`?
b) Que dire si l’on sait de plusan=o(1n)? [Théorème de Tauber]

Exercice 5CCP MP[ 03307 ][correction]
Soit(fn)la suite des fonctions donnée par

∀n>2∀x∈R fn(x) = (−1)nln(n)xn
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePfn.
On noteSsa somme.
b) Montrer que
∀x∈]−11[ S(x+11)=xn=+X∞1(−1)n+1ln1 +n1xn+1!

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Exercice 3[ 03246 ][correction]
SoitPanxnune série entière de rayon de convergenceR= 1et de somme

+∞
x∈]−11[7→f(x) =Xanxn
n=0
On suppose que la série numériquePanconverge, mont
définie et continue en 1.

rer que la fonctionfest

Enoncés

de

Continuité en une extrémité de l’intervalle
convergence

1

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Exercice 2[ 03245 ][correction]
SoitPanxnsérie entière de rayon de convergenceune R= 1avec

∀n∈N an>0

Pourx∈]−11[, on pose
+∞
S(x) =Xanxn
n=0
et on suppose que la fonctionSest bornée.
a) Montrer que la sériePanest convergente.
b) Montrer que
+∞
limS(x) =Xan
x→1−n=0

Exercice 4Centrale MP[ 03244 ][correction]
Soitfla fonction somme dans le domaine réel d’une série entièrePanxnde
rayon de convergenceR= 1.
On suppose l’existence d’un réel

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) SoitM∈Rtel queS(x)6Mpour toutx∈[01[.
SoitN∈N. Par sommation de termes positifs,

N
Xanxn6S(x)6M
n=0

En passant à la limite quandx→1−, on obtient

Corrections

N
Xan6M
n=0
La séries à termes positifsPanayant ses sommes partielles bornées, elle converge.
b) La fonctionSest croissante sur[01[et est bornée. On peut donc affirmer
qu’elle converge en1−et introduire
xli→m1−n=+X∞0anxn!

De plus, cette valeur majoreSsur[01[, de sorte qu’en reprenant l’étude ci-dessus
avec cette valeur pourM, on obtient
n+X=∞0an6xl→im1−n+X=∞0anxn!

Inversement, pour toutx∈[01[, on a

+∞+∞
Xanxn6Xan
n=0n=0

et donc à la limite quandx→1−
lim−n+X=∞0anxn!6n+X=∞0an
x→1

puis finalement l’égalité demandée.

Exercice 2 :[énoncé]
a) SoitM∈Rtel queS(x)6Mpour toutx∈[01[.
SoitN∈N. Par sommation de termes positifs,

N
Xanxn6S(x)6M
n=0

En passant à la limite quandx→1−, on obtient

2

N
Xan6M
n=0
La séries à termes positifsPanayant ses sommes partielles bornées, elle converge.
b) La fonctionSest croissante sur[01[et est bornée. On peut donc affirmer
qu’elle converge en1−et introduire

lim1−S(x)
x→

De plus, cette valeur majoreSsur[01[, de sorte qu’en reprenant l’étude ci-dessus
avec cette valeur pourM, on obtient

+∞
Xan6li→m1−S(x)
n=0x

Inversement, pour toutx∈[01[, on a

+∞+∞
Xanxn6Xan
n=0n=0

et donc à la limite quandx→1−

+∞
xli→m1−S(x)6Xan
n=0

puis finalement l’égalité demandée.

Exercice 3 :[énoncé]
La fonctionfest évidemment définie en 1. Pour étudier sa continuité, introduisons

+∞
Rn=Xak
k=n+1

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On peut écrire pourx∈[01[etn∈N

+∞n+∞
f(x)−Xak=Xak(xk−1) +Xakxk−Rn
k=0k=0k=n+1

avec
+∞+∞
Xakxk=X(Rk−1−R)xk
k
k=n+1k=n+1
Puisque|x|<1etRn→0, on peut écrire

+∞+∞+∞
Xakxk=XRk−1xk−XRkxk
k=n+1k=n+1k=n+1

avec convergence des deux sommes introduites.
Par décalage d’indice, on obtient

et ainsi

+∞+∞
Xakxk=XRkxk(x−1) +Rnxn+1
k=n+1k=n+1

+∞n+∞
f(x)−Xak=Xak(xk−1) + (x−1)XRkxk+Rn(xn+1−1)
k=0k=0k=n+1

Soitε >0.
PuisqueRn→0, pournassez grand on a

∀k>n|Rk|6ε

donc
+∞+∞
(x−1)XRkxk6(1−x)Xεxk6ε
k=n+1k=n+1
Pour un telnfixé, on a quandx→1−,

n
Xak(xk−1)→0etRn(xn+1−1)→0
k=0

donc pourxsuffisamment proche de 1,

n
Xak(xk−1)6εetRn(xn+1−1)6ε
k=0

Corrections

donc

+∞
f(x)−Xak63ε
k=0

Exercice 4 :[énoncé]
a) Pouran= (−1)n, on af(x) = 1(1 +x),`= 12et la sériePandiverge.
b) PourN∈Netx∈[01[, on peut écrire

N
Xan−`=AN+BN−CN
n=0

avec
N N
AN=f(x)−`,BN=Xan−XanxnetCN
n=0n=0
Pourε >0, il existe un rangn0au-delà duquel
|an|6ε
n
et alors pour toutN>n0

Posons alors

et on a

D’autre part

+∞
Xxn1ε−x
|CN|6Nεn=N+16N( )

1
x= 1−
N

|CN|6ε

+∞
=Xanxn
n=N+1

|BN|=NXan(1−xn)6(1−x)XNna1XN
n=0n=N nan
n=0n=0
En vertu du théorème de Cesaro

N1XNnan→0
n=0

et donc il existen1∈Ntel que pourN>n1

|BN|6ε

3

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Enfin, puisftend vers`en1−, il existen2∈Ntel que pourN>n2

AN=|f(1−1N)−`|6ε

Finalement, pourN>max(n0 n1 n2)

N
Xan−`63ε
n=0
On peut donc affirmer que la sériePanconverge et

Exercice 5 :[énoncé]
a)R= 1.
b) Pourx∈]−11[, on a

+∞
Xan=`
n=0

+∞+∞
(1 +x)S(x) =X(−1)nln(n)xn+X(−1)nln(n)xn+1
n=2n=2

Après décalage d’indice et réunion des deux sommes

+∞
(1 +x)S(x) =X(−1)n+1(ln(n+ 1)−ln(n))xn+1
n=1

Corrections

ce qui conduit à la relation demandée.
c) Posons
gn(x) = (−1)n+1ln1 +n1xn+1
ce qui définitgn: [01]→Rcontinue.
A l’aide du critère spécial des séries alternées, on montre que la série de fonctions
Pgnconverge uniformément sur[01]ce qui assure que sa somme est continue.
On en déduit par opérations sur les limites
xl→im1−S(x12)=n+X=∞1(−1)n+1ln1 +n1!

d) En regroupant les termes d’indices impairs et pairs consécutifs
k=2Xn1(−1)k+1ln1 +k1=k=Xn1ln1 + 2k1−1−ln+121k

et donc
k=2Xn1(−1)k+1ln1 +k1= lnk=Yn12k2−k1 2k+2k1!=2n11+
ln

Enfin par la formule du Wallis, on obtient

lim lnπ
x→1−S(x22=1)

4

kYn=12k!2
2k−1

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