Sujet : Analyse, Séries entières, Séries entières et équations différentielles

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries entières et équations différentielles Exercice 6 [ 01018 ] [correction] Former le développement en série entière en 0 de Exercice 1 [ 01013 ] [correction] x7→ sh(arcsinx) Soient p∈N et ! +∞X n+p nf(x) = x Exercice 7 CCP MP [ 03694 ] [correction]p n=0 a) Etudier la parité de Z xa) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction. 2 2x /2 −t /2 0 f :x7→ e e dtb) Calculer f(x) en étudiant (1−x)f (x). 0 b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle à déterminer. c) Justifier que f est développable en série entière et donner ce développement.Exercice 2 [ 01014 ] [correction] Soit f définie sur ]−1,1[ par arcsinx f(x) =√ Exercice 8 Mines-Ponts PC [ 01019 ] [correction] 21−x Former de deux façons le développement en série entière en 0 de a) Justifier que f est développable en série entière sur ]−1,1[. Z x 2 22 0 −x tb) Montrer que f est solution de l’équation différentielle (1−x )y −xy = 1. f :x7→ e e dt 0c) Déterminer le développement en série entière de f sur ]−1,1[. En déduire la relation ! ! nX k nn 2nExercice 3 CCP MP [ 03699 ] [correction] (−1) 4 = a) Quel est l’ensemble de définition de 2k+1 k n (2n+1) k=0 arcsinx f(x) =√ ? 21−x Exercice 9 Centrale MP [ 02481 ] [correction] On considère une suite réelle (u ) vérifiantb) Montrer que f est solution d’une équation différentielle linéaire du premier n n>0 ordre avec pour condition initiale f(0) = 0.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Séries entières et équations différentielles

Enoncés

Exercice 1[ 01013 ][correction]
Soientp∈Net
f(x) =n+X=∞0n+p!xn
p
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction.
b) Calculerf(x)en étudiant(1−x)f0(x).

Exercice 2[ 01014 ][correction]
Soitfdéfinie sur]−11[par
f(x a) =√nsirc1xx2
−
a) Justifier quefest développable en série entière sur]−11[.
b) Montrer quefest solution de l’équation différentielle(1−x2)y0−xy= 1.
c) Déterminer le développement en série entière defsur]−11[.

Exercice 3CCP MP[ 03699 ][correction]
a) Quel est l’ensemble de définition de

f(x arcsin) =x?
√1−x2

b) Montrer quefest solution d’une équation différentielle linéaire du premier
ordre avec pour condition initialef(0) = 0.
c) Trouver ce développement en série entière et en donner le rayon de convergence.

Exercice 4[ 01015 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction
x
f:x7→a√1rcc−osx2

Exercice 5[ 01017 ][correction]
Soientα∈Ret
f:x7→cos(αarcsinx)
a) Déterminer une équation différentielle d’ordre 2 dontfest solution.
b) En déduire un développement en série entière def.

Exercice 6[ 01018 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de

x7→sh(arcsinx)

Exercice 7CCP MP[ 03694 ][correction]
a) Etudier la parité de
x
2
f:x7→ex 2Z0e−t22dt
b) Montrer quefest solution d’une équation différentielle à déterminer.
c) Justifier quefest développable en série entière et donner ce développement.

Exercice 8Mines-Ponts PC[ 01019 ][correction]
Former de deux façons le développement en série entière en 0 de
x
f:x7→e−x2Zetdt
2
0
En déduire la relation

n
X(2k−+1)k1kn! 2nn!2=(n4n+ 1)
k=0

Exercice 9Centrale MP[ 02481 ][correction]
On considère une suite réelle(un)n>0vérifiant

un+2= (n+ 1)un+1−(n+ 2)unetu0=u1=−1
a) Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.
+∞
b) On posef(x) =Punxn. Trouverfà l’aide d’une équation différentielle.
n=0
+∞
c) On poseg(x) =Pnu!nxn. Trouvergà l’aide d’une équation différentielle.
n=0

Exercice 10[ 03659 ][correction]
a) Former une équation différentielle vérifiée par
f:x >−17→Z+∞dt
e−t
1x+t
b) En déduire le développable en série entière en 0 def.

1

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Enoncés

Exercice 11CCP MP[ 03301 ][correction]
Développerf(x) =ch(x) cos(x)en série entière en l’exprimant à l’aide de
fonctions exponentielles.
Retrouver le résultat en remarquant quefest solution de l’équation différentielle
y(4)+ 4y= 0.

Exercice 12CCP MP[ 02500 ][correction]
Soientk >0et
1
f(x) =Ztksin(xt)dt
0
a) Montrer quefest continue surR.
b) Montrer quefest dérivable surRet vérifie

∀x∈R xf0(x) + (k+ 1)f(x) = sinx

c) Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de
xy0+ (k+ 1)y= sinxen précisant le rayon de convergence.

Exercice 13CCP MP[ 02498 ][correction]
On considère l’équation différentielle

(E) :ty0+y= 3t2cos(t32)

a) Montrer qu’il existe une unique solutionvde(E)développable en série entière
sur un voisinage de 0.
b) Trouver l’ensemble des solutions de(E)surR+?et en déduire une expression
plus simple dev.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) On a
1
n+pp!=n(n−1)p!(n−p+ 1)∼p!np

donc le rayon de convergence defvaut 1.
b) Sur]−11[fest de classeC∞et
pxn−1
f0(x) =n=+X∞1n+p!n

Corrections

Donc
(1−x)f0(x) =n+X=∞0(n+ 1)n+pp+ 1!xn−n+X=∞0nn+pp!xn=n+X=∞0αnxn

avec

qui donne

Par suite

p
αn= (n+ 1)n+pp+ 1!−npn+!

αn= (n+p+ 1)n+pp!−nn+pp!= (p+ 1)n

(1−x)f0(x) = (p+ 1)f(x)

Les solutions de l’équation différentielle linéaire d’ordre 1

sur]−11[sont

avecC∈R.
Sachantf(0) = 1, on obtient

(1−x)y0= (p+ 1)y

C
y(x (1) =−x)p+1

1
f(x) =
(1−x)p+1

+pp!

3

Exercice 2 :[énoncé]
a)x7→√112est développable en série entière sur]−11[et par suite la primitive
−x
x7→arcsinxl’est aussi. Par produit de fonctions développable en série entière sur
]−11[,fl’est aussi.
b)fest dérivable sur]−11[et

donc

1xarcsinx
f0(x) = 1−x2+1(−x2)32

(1−x2)f0(x)−xf(x) = 1

c) Puisquefest impaire, le développement en série entière defest de la forme
+∞+∞
f(x) =Panx2n+1. On af0(x) =P(2n+ 1)anx2npuis
n=0n=0

+∞+∞+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =X(2n+ 1)anx2n−X(2n+ 1)anx2n+2−Xanx2n+2
n=0n=0n=0

donc

+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =a0+X((2n+ 3)an+1−(2n+ 2)an)x2n+2= 1
n=0

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière

d’où

Puisque pourx

6= 0

on obtientR= 1.

= 1et∀n∈N2n+ 2
a0 an+1=2n+ 3an

22n(n!)2
an=2(n+ 1)!

ana+n1xx2n2n1+3+2=(n+(4n3)(2)1+n2x+22)→x2

Exercice 3 :[énoncé]
a) La fonctionfest définie sur]−11[.
b) On vérifie(1−x2)f0(x)−xf(x) = 1etf(0) = 0.

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Corrections

c)x7→√11x2est développable en série entière sur]−11[et par suite la primitive
−
x7→arcsinxl’est aussi.
Par produit de fonctions développable en série entière sur]−11[,fl’est aussi.
Puisquefest impaire, le développement en série entière defest de la forme

+∞
f(x) =Xanx2n+1
n=0

+∞
On af0(x) =P(2n+ 1)anx2npuis
n=0

+∞+∞+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =X(2n+ 1)anx2n−X(2n+ 1)anx2n+2−Xanx2n+2
n=0n=0n=0

donc

+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =a0+X((2n+ 3)an+1−(2n+ 2)an)x2n+2= 1
n=0

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière

d’où

Puisque pourx6= 0

on obtientR= 1.

a0= 1et∀n∈N an+122=nn+3+2an

an= 22n(n!)2
(2n+ 1)!

an+1x2n+3= 4(n+ 1)2x2→x2
anx2n+1(2n+ 3)(2n+ 2)

Exercice 4 :[énoncé]
fun développement en série entière en 0 par produit fonctionsadmet
développables en série entière.
De plus son rayon de convergence vérifieR>1.
On peut donc écrire
+∞
f(x) =Xanxnsur]−11[
n=0

fest dérivable etfest solution de l’équation différentielle

Or

(x2−1)y0+xy−1 = 0

+∞
(x2−1)f0(x) +xf(x)−1 =−(a1+ 1) +X(nan−1−(n+ 1)an+1)xn
n=1

Par identification
a1=−1et∀n>1 an+1=n+n1an−1
De plusa0=f(0) =π2donc
a2p= (2p2−p1)× ∙ ∙ ∙ ×1a0=2((2ppp))!!2π2eta2p+1=2p+2p1∙ ∙ ∙32a1=−(2pp!)2
2 (2p+ 1)!

Exercice 5 :[énoncé]
a)fest solution de l’équation

(1−x2)y00−xy0+α2y= 0

4

b)fest solution de l’équation différentielle ci-dessus et vérifie les conditions
initialesy(0) = 1ety0(0) = 0.
Analyse : SoitPanxnune série entière de rayon de convergenceR >0et de
sommeS.
La fonctionSvérifie