Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries à termes de signe constant

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries à termes de signe constant Exercice 7 [ 01025 ] [correction] P Soit (u ) une suite décroissante réelle. On suppose que la série u converge.n n nP Exercice 1 [ 01020 ] [correction] a) On pose S = u . Déterminer la limite de S −S .n k 2n n k=0Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : b) En déduire 2nu → 0.2n n chn c) Conclure que nu → 0.na) u = b) u =n n2n + 1 ch2n n 1 1 1 c) u =√ −√ d) u = e− 1 +n n Exercice 8 [ 03233 ] [correction]2 2 nn − 1 n + 1 Soient (u ) une suite décroissante de réels positifs et α un réel positif.n On suppose la convergence de la série XExercice 2 [ 01021 ] [correction] αn unDéterminer la nature de la série de terme général Montrer1/n si n est un carré α+1u =n 2 n u → 0n1/n sinon Exercice 9 [ 01026 ] [correction] Exercice 3 [ 01022 ] [correction]P P Soient (u ) une suite de réels positifs etnSoient u et v deux séries à termes strictement positifs convergentes.n n unMontrer que les suivantes sont aussi convergentes v =n 1 +uX X X n√ u vn n P Pmax(u ,v ), u v etn n n n Montrer que les séries u et v sont de même nature.u +v n nn n Exercice 10 [ 01029 ] [correction]Exercice 4 [ 01023 ] [correction] P [Règle de Raabe-Duhamel]Soit u une série à termes positifs convergente.n Soient (u ) et (v ) deux suites de réels strictement positifs.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Séries à termes de signe constant

Exercice 1[ 01020 ][correction]
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
n
a)nu2+ 1)un=hhcc2nn
n=b
c)un=√n21−1− √n21+1d)un= e−1 +n1n

Exercice 2[ 01021 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
un=11nn2sinsinréarsneutocn

Exercice 3[ 01022 ][correction]
SoientPunetPvndeux séries à termes strictement positifs convergentes.
Montrer que les suivantes sont aussi convergentes
Xmax(un vn),Xeunvn
√unvntXun+vn

Exercice 4[ 01023 ][correction]
SoitPunune série à termes positifs convergente.
Montrer queX√unun+1est aussi convergente

Exercice 5[ 03411 ][correction]
Soitaune suite de réels positifs. Comparer les assertions
(i) la série de terme généralanconverge ;
(ii) la série de terme général√anan+1converge.

Exercice 6[ 01024 ][correction]
SoitPunune série à termes positifs. On suppose que
n√un→`∈R+
a) Montrer que si` >1alorsPunest divergente.
b) Montrer que si` <1alorsPunest convergente.
c) Observer que, lorsque`= 1, on ne peut rien conclure.

Enoncés

Exercice 7[ 01025 ][correction]
Soit(un)une suite décroissante réelle. On suppose que la sériePunconverge.
n
a) On poseSn=Puk. Déterminer la limite deS2n−Sn.
k=0
b) En déduire2nu2n→0.
c) Conclure quenun→0.

Exercice 8[ 03233 ][correction]
Soient(un)une suite décroissante de réels positifs etαun réel positif.
On suppose la convergence de la série
Xnαun

Montrer

nα+1un→0

Exercice 9[ 01026 ][correction]
Soient(un)une suite de réels positifs et
un
vn= 1 +un
Montrer que les sériesPunetPvnsont de mme nature.

1

Exercice 10[ 01029 ][correction]
[Règle de Raabe-Duhamel]
Soient(un)et(vn)deux suites de réels strictement positifs.
a) On suppose qu’à partir d’un certain rang
un+16vn+1
unvn
Montrer queun=O(vn).
b) On suppose que
uunn+1= 1−nα+on1avecα >1
Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de Riemann, que la sériePun
converge.
c) On suppose cette fois-ci que
un+1= 1−α+o1avecα <1
unn n
Montrer que la sériePundiverge

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Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02800 ][correction]
a) Soient(un)n>0et(vn)n>0deux suites réelles,λ∈R. On suppose :
erge etun+1= 1−λ+vn
∀n∈N un>0;X|vn|convunn

Montrer que(nλun)converge.
b) Nature de la série de terme général

nn
n!en?

Enoncés

Exercice 12[ 01030 ][correction]
SoientPunune série absolument convergente etvn=uσ(n)avecσ∈S(N).
n>0
Montrer que la sériePvnest absolument convergente de mme somme dePun.
n>0

Exercice 13[ 01032 ][correction]
Montrer la convergence de
+X∞k1!
k=0
puis la majoration du reste
+∞
X

1 1
k!6nn!
k=n+1

Exercice 14[ 02353 ][correction]
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
)un=nn+ 1n2b)un=nos1c2nc)unn=(ln)1lnn
a

Exercice 15Centrale MP[ 02432 ][correction]
a) EtudierPuoùun=Rd1x
n0 1+x+∙∙∙+xn.
1xndx
b) EtudierPvnoùvn=R0 1+x+∙+xn.
∙∙

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02789 ][correction]
Nature de la série de terme général
e−1 +1nn
n32−n32+n

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02798 ][correction]
Soientα∈Retf∈ C0([01]R)telle quef(0)6= 0. Etudier la convergence de la
série de terme général
1
un=n1αZ0nf(tn) dt

Exercice 18X MP[ 02957 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général

n
Xuk−nun
k=1
est bornée.
Montrer que la série de terme généralunconverge.

Exercice 19[ 01027 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs.
a) Pour toutn∈N, on pose
un
vn=
1 +un
Montrer quePunetPvnsont de mme nature.
b) Mme question avec
un
vn=
u1+∙ ∙ ∙+un
On pourra étudierln(1−vn)dans le cadre de la divergence.

Exercice 20Mines-Ponts MP[ 03750 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose
n
v un+1avecSn=Xuk
n=Sn
k=0
Montrer que les sériesPunetPvnont mme nature.

2

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Exercice 21X MP[ 02956 ][correction]
Soit(un)n>1une suite de réels strictement positifs.
On pose, pourn∈N?,

vn=unSnoùSn=u1+∙ ∙ ∙+un
Déterminer la nature dePvn.

Exercice 22CCP MP[ 03715 ][correction]
n
Soient(an)une suite de réels strictement positifs etSn=Pak.
k=0
a) On suppose que la sériePanconverge, donner la nature dePanSn.
b) On suppose que la sériePandiverge, montrer

?a1
−
∀n∈NSnn26Sn1−1Sn
En déduire la nature dePanS2n.
c) On suppose toujours la divergence de la sériePan.
Qu’elle est la nature dePanSn?

Exercice 23X MP[ 02958 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général
unconverge.
+∞
On note le reste d’ordren:Rn=Puk.
k=n+1
Etudier la nature des séries de termes générauxunRnetunRn−1.

Exercice 24X MP[ 02959 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Nature de la série de terme général

un+1−un
un

Exercice 25[ 02447 ][correction]
SoitPanune série à termes positifs convergente.
Peut-on préciser la nature de la série de terme général

un=a0a1   an?

Enoncés

Exercice 26Mines-Ponts PC[ 03119 ][correction]
Soient(un)n>0et(vn)n>0dans(R+)Ntelles que

1
∀n∈N vn= 1 +n2
un
Montrer que si la série de terme généralvnconverge alors la série de terme
généralundiverge.

Exercice 27[ 03195 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
1
n
un=n11+

Exercice 28[ 03225 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Rde classeC1strictement positive telle que
xff(0(xx))−−−−→`∈¯R
x→+∞
a) On suppose` >−1ou`=−1+. Montrer la divergence de la série
Xf(n)
n>1

b) On suppose` <−1. Montrer la convergence de la série
Xf(n)
n>1

3

Exercice 29[ 03235 ][correction]
Soit(un)n>1une suite de réels positifs. On considère la suite(vn)définie par
1n
vn=Xkuk
n(n+ 1)k=1
Montrer que les sériesPunetPvnont mme nature et qu’en cas de convergence
+∞+∞
Xun=Xvn
n=1n=1

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Exercice 30[ 03355 ][correction]
Soient(un)une suite de réels positifs et(vn)la suite déterminée par

Montrer

vn=u2n+u2n+1

Xunconverge si, et seulement si,

Xvnconverge

Exercice 31[ 03674 ][correction]
SoitPanune série à termes strictement positifs convergente.
Etablir la convergence de la sériePan1−1n.

Exercice 32CCP MP[ 03716 ][correction]
n
Soient(an)une suite de réels strictement positifs etSn=Pak.
k=0
a) On suppose que la sériePanconverge, donner la nature dePanSn
b) On suppose que la sériePandiverge, montrer

∀n∈N?ann1−1−S1n
Sn26S
En déduire la nature dePanSn2.
c) On suppose toujours la divergence de la sériePan.
Qu’elle est la nature dePanSn?

Exercice 33CCP MP[ 02516 ][correction]
Soient
un3=n1n!nY(3k−2)etvn1
=
n34
k=1
a) Montrer que pournassez grand,

un+1>vn+1
unvn