Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégration terme à terme d’une série de fonctions b) Calculer cette somme sachant +∞ 2X 1 πExercice 1 [ 00928 ] [correction] = 2n 6Montrer que n=1 Z +∞+∞ Xt 1 dt = t 2e − 1 n0 n=1 Exercice 6 [ 00932 ] [correction] Etablir Z +∞1 Xdx 1 =Exercice 2 [ 00929 ] [correction] x nx n0 n=1Etablir que Z +∞1 n−1Xlnt (−1) dt = 2 21 +t (2n + 1)0 Exercice 7 Mines-Ponts MP - CCP MP [ 00933 ] [correction]n=0 Etablir Z +∞1 n−1X (−1)xx dx = nExercice 3 CCP MP [ 03781 ] [correction] n0 n=1 Prouver l’égalité Z +∞1 2 nX(lnx) (−1) dx = 2 2 3 Exercice 8 [ 00934 ] [correction]1 +x (2n + 1)0 n=0 Etablir que pour p> 2, Z +∞1 p X(lnx) 1pdx = (−1) p!Exercice 4 [ 00930 ] [correction] p+11−x n0 n=1a) Etablir Z Z1 1arctant lnt dt =− dt 2t 1 +t0 0 Exercice 9 [ 00935 ] [correction] b) En déduire Déterminer la limite quand n→ +∞ de Z +∞1 nXarctant (−1) Z +∞ −x/ndt = 1 e 2t (2n + 1) dx0 n=0 2n 1 + cos x0 Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement 0, 916. Exercice 10 Centrale MP [ 00939 ] [correction] Soient α> 0, n∈N. On poseExercice 5 [ 00931 ] [correction] Za) Etablir π/2 Z Z1 1 α nu (α) = (sint) (cost) dtln(1 +t) lnt n dt =− dt 0 t 1 +t0 0 a) Nature de la série de terme général u (1).na) En déduire b) Plus généralement, nature de la série de terme général u (α).Z +∞ n1 n−1Xln(1 +t) (−1) ∞Pdt = c) Calculer u (α) pour α = 2, 3.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 115
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Intégration terme à terme d’une série

Exercice 1[ 00928 ][correction]
Montrer que
Z+0∞ett−1dt=n=+X∞1n12

Exercice 2
Etablir que

[ 00929 ][correction]

Exercice 3CCP MP
Prouver l’égalité

Exercice 4
a) Etablir

Z011+nltt2dt=n=+X∞0(2(−n1)+n1−)12

[ 03781 ][correction]
Z1nl(+1xx)22dx= 2n+X=∞0(2(n−1+1)n)3
0

[ 00930 ][correction]

1
Z0arcttantdt=−Z10n+1ltt2dt

de

Enoncés

fonctions

b) En déduire
+∞−1)n
Z01arcttantdt=nX=0(2(n+ 1)2
Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement0916.

Exercice 5[ 00931 ][correction]
a) Etablir
lntdt
Z01ln(1t+t)dt=−Z011 +t
a) En déduire
Z1ln(1t+td)t=n+X=∞1(−1n)2n−1
0

b) Calculer cette somme sachant

+∞1π2
Xn2=6
n=1

Exercice 6[ 00932 ][correction]
Etablir
+∞1
Z10dn=1
xxx=Xnn

Exercice 7Mines-Ponts MP - CCP MP[ 00933 ][correction]
Etablir
+∞
dx=X
Z01xnx=1(−1n)nn−1

Exercice 8[ 00934 ][correction]
Etablir que pourp>2,
p+∞
Z101ln(−x)xdx= (−1)pp!n=X1np1+1

Exercice 9[ 00935 ][correction]
Déterminer la limite quandn→+∞de
−xn
n1Z0+∞c+1eos2xdx

Exercice 10Centrale MP[ 00939 ][correction]
Soientα >0,n∈N. On pose
π2
α)Z0
un (sin( =t)α(cost)ndt

a) Nature de la série de terme généralun(1).
b) Plus généralement, nature de la série de terme généralun(α).
∞
c) CalculerPun(α)pourα= 23.
n=1

1

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Exercice 11
Etablir que

[ 00940 ][correction]

+∞
Z+∞setin−t1 dt=nX=1n21+1

0

Exercice 12[ 00941 ][correction]
Etablir que pour toutx >0

+∞
Z10tx−1e−tdt=X0n(!(−x+)1nn)
n=

Exercice 13[ 00943 ][correction]
Calculer, pourn∈Z,

In=Z2πeineθiθdθ
02 +

Exercice 14Centrale MP[ 02439 ][correction]
Soienta∈C,|a| 6= 1etn∈Z. Calculer
Z20πeieint−tadt

Exercice 15[ 02641 ][correction]
ndésigne un entier naturel non nul.
a) Justifier que l’intégrale
2
Z+0∞(nn2+−xx22)2dx

est définie.
b) Soita>0. Calculer

En déduire la valeur de

−
Z0ann22x22)d
( +x2x

Z+∞n2−x2
0(n2+x2)2dx

Enoncés

puis de

+X∞Z+∞(nn22+−xx22)2dx

n=1 0
c) Soita>0. Montrer que la série

+∞
X(nn22+−xx22)2
n=1

converge uniformément sur[0 a], puis que

+∞n2−x2 +∞
Z0anX=1(n2+x2)2dx=n=X1n2+aa2

d) En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

e) En déduire que l’intégrale

+∞
al→+∞Xn2a+a2
im
n=1

∞2
Z0+∞n=+X1(nn22+−xx2)2dx

est convergente et donner sa valeur.
Comparer avec le résultat obtenu en b). Qu’en conclure ?

Exercice 16Centrale MP[ 02438 ][correction]
a) Démontrer la convergence de la série de terme général

b) Comparer

c) En déduire :

n!
=
annn

anetnZ+0∞tne−ntdt

+X∞an=Z+∞1−tet−et−t)2dt
n=1 0(

2

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Exercice 17Centrale MP[ 02445 ][correction]
On pose
11
In=Z+tndt
01
pour tout entiern >0.
a) Trouver la limite`de(In).
b) Donner un équivalent de(`−In).
c) Justifier
1ln(1 +y
Z0yd)y=k=+X∞0((k−)11+k)2
d) Donner un développement asymptotique à trois termes de(In).

Exercice 18[ 02612 ][correction]
a) Déterminer la limite`quandn→+∞de
In=Z101
dt
1 +tn

b) Donner un équivalent de

In−`

c) Justifier
Z10ln(1 +tn) dt=k+X=∞1k((−n1k)k+−11)
d) En déduire un équivalent de

Z1dt
ln(1 +tn)
0

et donner un développement asymptotique à trois termes deIn.

Exercice 19Centrale MP[ 02474 ][correction]
a) Montrer que pour toutn∈N?,
fn(t) =ten−+t1et−p=n0p!
Xtp!

est intégrable surR+?.

Enoncés

3

Soituncette intégrale.
b) A l’aide du logiciel de calcul fourni, calculerunpour16n610, puis effectuer
une conjecture sur l’expression deun.
c) Montrer que l’on peut écrireuncomme somme d’une série et utiliser ce résultat
pour démontrer la conjecture précédente.

Exercice 20Centrale MP[ 02479 ][correction]
Soit pourt∈R,
+∞1
f(t) =X=1t4+n4
n
a) Donner le domaine de définition def.
b) La fonctionfest-elle continue ? de classeC1?
c) Calculer, avec un logiciel de calcul formel
Z+∞dt
01 +t4

d) Donner un équivalent defen+∞.
e) Montrer
+X∞(4n−+1)n1 =Z10d1+tt4
n=0

Exercice 21Centrale MP[ 02485 ][correction]
Soit
+X∞(−)2(1nn+ 1)
S=n=0(3n+ 1)
a) Montrer qu’il existe(a b)∈Q2que l’on déterminera tel que
S=aZ011+dtt3+bπ

b) CalculerSà l’aide d’un logiciel de calcul formel.

Exercice 22Centrale MP[ 02488 ][correction]
Soita∈Q∩]02[aveca6= 1
.
On pose
In(a) =Z01(1−x(n11(−−a)xx))nn+1dx

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a) Justifier l’existence deIn(a).
b) Calculer, avec Maple,In(a)poura∈ {15141312}et pour
n∈ {12    10}.
Etablir une conjecture.
c) Montrer que pour toutn∈N?on a

+∞
In(a) =Xαnp(1−a)p
p=0

où lesαnpsont à déterminer.
On pourra utiliser
Z1−x)mdx(=n+n!mm!)1!+
xn(1
0
d) On pose

(X+ 1)  (X+n)
=
Rn(X)(X+n+ 1)  (X+ 2n+ 1)

DécomposerRnen éléments simples.
En déduire que pour toutn∈N?, il existe des rationnelsrn(a)etqn(a)tels que

In(a) =rn(a) +qn(a) lna

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Exercice 23Mines-Ponts MP[ 02807 ][correction]
a) Pour(m n)∈N2, calculer
Z10xn(1−x)mdx

Pourp∈Z, montrer l’existence de

+∞
Sp=nX=12nnpn!

b) CalculerS0etS−1.
c) Sip∈N, proposer une méthode de calcul deSp.

Enoncés

Exercice 24Mines-Ponts MP[ 02840 ][correction]
a) Si(s λ)∈R+?×C, quelle est la nature de la série de terme général

λn
s(s+ 1)  (s+n)

4

pourn>0? Aλfixé, on noteΔλl’ensemble dess >0tels que la série converge,
et on noteFλ(s)la somme de cette série.
b) CalculerlimΔλFλ(s).
s→sup
c) Donner un équivalent deFλ(s)quands→inf Δλ.
d) Sin>1, calculer :
Z01(1−y)s−1yndy
e) En déduire une expression intégrale deFλ(s).

Exercice 25Mines-Ponts MP[ 02864 ][correction]
Existence et calcul de
Z10ln1−tt2dt
Le résultat est à exprimer à l’aide deζ(2).

Exercice 26Mines-Ponts MP[ 02866 ][correction]
Soit(an)n>0une suite bornée. Calculer
nl→im+∞Z+0∞e−2tp+X=∞naptpp!!dt

Exercice 27[ 02615 ][correction]
Pourn m∈N, on pose

a) CalculerIn(n).
b) En déduire

In(m) =Z10xn(lnx)mdx

Z10x−xdx=n+X=∞1n−n

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Exercice 28Mines-Ponts MP[ 02869 ][correction]
Montrer

1
n+X∞1n−n=Zt−tdt
= 0

Exercice 29Mines-Ponts MP[ 02870 ][correction]
+∞
Six >1, on poseζ(x) =Pn1x. Montrer :
n=1
∞+∞
(ζ(x)−1) dx=X
Z2+n=2n2nl1n

Exercice 30Mines-Ponts PC[ 00118 ][correction]
Soit, pourn∈N,
un=Z0π2hcosπ2 sinxindx
a) Etudier la suite(un)n>0. <