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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 128 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Comparaison de suites numériques
Exercice 1[ 02280 ][correction]
Classer les suites, dont les termes généraux, sont les suivants par ordre de
négligeabilité :
1 1 lnnlnn
a)n 2 n2nln1n
n n
b)n n2 nlnn√nln2
nnlnn
Exercice 2[ 02281 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes et donner leur limite :
a)un= (n+ 3 lnn)e−(n+1)b)un= ln(nn211)++c)un=√3√nn22−+nn+1+1
Exercice 3[ 00236 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes et donner leur limite :
a)un=n3ln−n√−n22n+21b)un= 2n3−lnn+ 1)u2nn++!e3nn
n2+ 1cn=
Exercice 4[ 02282 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes :
a)un=n−11−n1+1
Enoncés
b)un=√n+ 1−√n−1c)un=pln(n+ 1)−ln(n)
Exercice 5[ 00235 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes :
1
a)un= sin√n1+1b)un= lnsinn1c)un= 1n
−cos
Exercice 6[ 02283 ][correction]
Déterminer la limite des suites(un)suivantes :
a)un=nsln1 +n211+
b)un= 11 + sinnn
Exercice 7[ 02287 ][correction]
Soit(un)une suite décroissante de réels telle que
1
un+un+1∼
n
a) Montrer que(un)converge vers0+.
b) Donner un équivalent simple de(un).
Exercice 8[ 02284 ][correction]
Pourn∈N, on pose
Montrer queun∼n!.
n
un= 0! + 1! + 2! +∙ ∙ ∙+n! =Xk!
k=0
Exercice 9[ 02285 ][correction]
On pose
n
Sn=X1
k=1√k
a) Justifier que
1162√n+ 1√−n6√1n
√n+
b) Déterminer la limite de(Sn).
c) On poseun=Sn−2√n. Montrer que(un)converge.
d) Donner un équivalent simple de(Sn).
Exercice 10[ 00301 ][correction]
On étudie ici la suite(Sn)de terme général
n1
Sn=Xk
k=1
)unn√n+1
=
c(n+ 1)√n
1
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a) Etablir que pour toutt >−1,ln(1 +t)6tet en déduire
b) Observer que
n( +t)>t+t1
l 1
ln(n+ 1)6Sn6lnn+ 1
et en déduire un équivalent simple deSn.
c) Montrer que la suiteun=Sn−lnnest convergente. Sa limite est appelée
constante d’Euler et est usuellement notéeγ.
Exercice 11[ 02286 ][correction]
Soit(un)(vn)(wn)(tn)des suites de réels strictement positifs tels queun
etwn∼tn.
Montrer queun+wn∼vn+tn.
Exercice 12CCP MP[ 02459 ][correction]
Montrer que, au voisinage de+∞,
un=Zn2n31+dtt2∼n1
2
∼v
Enoncés
n
2
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a)
b)
Exercice 2 :[énoncé]
a)un=ne−n→0
e
b∼ →0
)un2 lnnn
c)un∼n13→+∞.
Exercice 3 :[énoncé]
a)un∼ −21n→ −∞
b)un∼2n→+∞
n!
c)un∼n→+∞
3
Exercice 4 :[énoncé]
a)
b)
1 lnn ln1 1n
n2n2nlnnnn
√nlnnnnlnnlnn2nn2
un
2 2
=∼
n2−1n2
2 2
un= =
√n+ 1 +√n−1√n+o(√n) +√n+o(√n)
c)
1
un=sln1 +n∼r1n=√1n
carln1 +n1∼n1puisque1n→0.
Corrections
1 1
=∼
√n+o(pn)√n
Exercice 5 :[énoncé]
a)un= sin√n1+1∼√n+11∼√1ncar11→0.
√n+
b)sin1n∼1n→06= 1doncun∼lnn1=−lnn.
c)un sin= 2212n∼21n2.
Exercice 6 :[énoncé]
a)ln1 +n2+11∼n21+1∼n12carn211+→0. Par suiteun∼1→1.
b)un=enln(1+sinn1),ln1 + sinn1∼sin1n∼1ndoncnln1 + sinn1→1puis
un→e.
c)un=e√n+1 lnn−√nln(n+1),
√n+ 1 lnn− √nln(n+ 1) =√n+ 1− √nlnn− √nln1 +n1.
Or√n+ 1− √nlnn=√n1+nln+√n=2√n+nln(√n)∼nl2√nnet
o
√nln1 +1n∼√1n=onl2√nndonc
√n+ 1 lnn− √nln(n+ 1) =2nl√nn+o2nl√nn→0doncun→1.
Exercice 7 :[énoncé]
a)(un)est décroissante donc admet une limite`∈R∪ {−∞}.
Puisqueun+un+1∼1n→0+, on a`+`= 0donc`= 0.
De plus, à partir d’un certain rang :2un>un+un+1>0
b) Par monotonie
un+1+un62un6un−1+un
avecun+1+un∼1netun−1+un∼n−11∼n1donc2un∼1npuis
1
u∼
n2n
Exercice 8 :[énoncé]
On a
Or
et
n−2
un=n! + (n−1)! +Xk!
k=0
(n−1)! 1
=→0
n!n
n−2
Pk!n−2
06k=n0! =Xkn!!6nX−2(nn−!=!2)kn=X−02n(n1−1)6n1→0
k=0k=0
3
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donc
n−2
un=n! + (n−1)! +Xk! =n! +o(n!)∼n!
k=0
Exercice 9 :[énoncé]
a)
donc
2√n+ 1−√n=√n1++2√n
1√n+ 1−√n6√1n
√n+ 162
Corrections
b)
n
Sn>X2√k+ 1√−k= 2√n+ 1−2
k=1
puisSn→+∞.
c)un+1−un=√n+1−2√n+ 1− √n60donc(un)est décroissante.
1
Orun=Sn−2√n>2√n+ 1−2−2√n>−2donc(un)est aussi minorée. Par
suite(un)converge.
d)
Sn= 2√n+un= 2√n+o(√n)∼2√n
Exercice 10 :[énoncé]
a) On étudie la fonctiont7→t−ln(1 +t)pour établir la première inégalité. On en
déduit
n(1−1t+t)6−1t+t
l
donc
ln1+t6t
−
1 1 +t
puis l’inégalité voulue.
b)
Sn=kXn=11k>lnkY=n11 +k1!= ln(n+ 1)
et
Sn= 1 +nk−=X11+111kk61 + lnnkY−1=11 +k1!= 1 + lnn
On en déduit
c)
Sn∼lnn
un+1−un1nn−ln1 +n160
=
1 + 1
donc(un)est décroissante. De plusun>ln(n+ 1)−lnn>0donc(un)est
minorée et par suite convergente.
Exercice 11 :[énoncé]
Supposonsun∼vnetwn∼tn.
(un−vn)+(wn−tn)| −vn|
vunn++twnn−1=vn+tn6unvn+|wntn−tn|=uvnn−1+wtnn−1→0.
Exercice 12 :[énoncé]
On peut calculer l’intégrale
un= arctann3−arctann2
Or pourx >0,
1π
arctanx+ arctanx2=
1 1 =n12+on12∼n12
un= arctann2−arctann3
donc
4
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