Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Métriques des courbes
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Métriques des courbes a) Construire la deltoïde dont un paramétrage cartésien est : ( x = 2 cost + cos 2tExercice 1 [ 00613 ] [correction] y = 2 sint− sin 2t[Astroïde] a) Construire l’astroïde dont un paramétrage est b) Calculer la longueur de cette courbe.( 3x = cos t c) la courbure en tout point de paramètre t∈ ]0, 2π/3[ via obtention 3 d’une détermination angulaire.y = sin t b) Calculer la longueur de cette courbe Exercice 5 [ 00617 ] [correction]c) la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination a) Construire la courbe définie par le paramétrage cartésien :angulaire. ( x = 3 cost + 3 cos 2t + cos 3t y = 3 sint + 3 sin 2t + sin 3tExercice 2 [ 00614 ] [correction] [Cycloïde] b) Calculer la longueur de cette courbe.a) Construire la cycloïde dont un paramétrage est c) la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination( angulaire.x =t− sint y = 1− cost Exercice 6 [ 00618 ] [correction]b) Calculer la longueur d’une arche de cycloïde. [Cardioïde]c) la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination a) Construire la cardioïde dont une équation polaire estangulaire. r = 1 + cosθ Exercice 3 [ 00615 ] [correction] b) Calculer la longueur de celle-ci. [Tractrice] c) la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination a) Construire la tractrice dont un paramétrage cartésien est angulaire.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Métriques des courbes

Exercice 1[ 00613 ][correction]
[Astroïde]
a) Construire l’astroïde dont un paramétrage est
(xy=cos=nis33tt

b) Calculer la longueur de cette courbe
c) Calculer la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination
angulaire.

Exercice 2[ 00614 ][correction]
[Cycloïde]
a) Construire la cycloïde dont un paramétrage est
(x=t−sint
y= 1−cost

b) Calculer la longueur d’une arche de cycloïde.
c) Calculer la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination
angulaire.

Exercice 3[ 00615 ][correction]
[Tractrice]
a) Construire la tractrice dont un paramétrage cartésien est
xy==tc1h−ttht

b) Déterminer la courbure en tout point régulier de cette courbe via obtention
d’une détermination angulaire.
c) Déterminer le lieu des centres de courbure.

Exercice 4
[Deltoïde]

[ 00616 ][correction]

Enoncés

a) Construire la deltoïde dont un paramétrage cartésien est :
(yxsco=2=in2stt−isos2+nc2tt

b) Calculer la longueur de cette courbe.
c) Calculer la courbure en tout point de paramètret∈]02π3[via obtention
d’une détermination angulaire.

Exercice 5[ 00617 ][correction]
a) Construire la courbe définie par le paramétrage cartésien :
(yxo=s3cnis3=t+ 3 cos 2t+ cos 3t
t+ 3 sin 2t+ sin 3t

b) Calculer la longueur de cette courbe.
c) Calculer la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination
angulaire.

Exercice 6[ 00618 ][correction]
[Cardioïde]
a) Construire la cardioïde dont une équation polaire est

r= 1 + cosθ

b) Calculer la longueur de celle-ci.
c) Calculer la courbure en tout point régulier via obtention d’une détermination
angulaire.

Exercice 7[ 00619 ][correction]
[Lemniscate de Bernoulli]
a) Construire la lemniscate dont une équation polaire est
r=√cos 2θ

b) Calculer la courbure en tout point différent deOvia obtention d’une
détermination angulaire.

1

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Exercice 8[ 00620 ][correction]
[Spirale d’Archimède]
a) Donner l’allure de la spirale d’Archimède d’équation polaire

r=aθ(aveca >0)

b) Calculer la courbure en tout point de celle-ci

Exercice 9[ 00621 ][correction]
Soienta >0etΓla courbe d’équation polaire

r= eaθ

a) Donner l’allure deΓ.
b) Calculer la courbure en tout point deΓ.
c) Donner une équation polaire de l’ensemble des centres de courbure.

Exercice 10[ 00622 ][correction]
a) Construire la courbe d’équation polaire

θ
r= cos3
3

b) Calculer la longueur de cette courbe.
c) Calculer la courbure en tout point régulier.

Exercice 11[ 00623 ][correction]
a) Construire la courbe d’équation polaire
r=3√cos 3θ

b) Calculer la courbure en tout point de paramètre−6π< θ <π6.

Exercice 12[ 00624 ][correction]
a) Donner l’allure de la courbe définie par l’équation polaire

r=thθ
2

b) Déterminer une abscisse curviligne le long de la courbeΓ.
c) Calculer la courbure en tout point de celle-ci.

Enoncés

Exercice 13[ 00625 ][correction]
Calculer le rayon de courbure en tout point de la chaînette d’équation

y=chx

Exercice 14[ 00626 ][correction]
Calculer le rayon de courbure en tout point de la parabole d’équationy2= 2px.

Exercice 15[ 00627 ][correction]
Calculer le rayon de courbure en tout point de l’ellipse d’équation

x2
a2+by22= 1

Exercice 16[ 00628 ][correction]
Calculer le rayon de courbure en tout point de l’hyperbole d’équation

2y2
ax2b21
−=

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02920 ][correction]
Calculer la longueur de la courbe d’équation polaire (a >0)

r=a(1 + cosθ)

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 02921 ][correction]
SoitCla courbe d’équation polaire
r=pcos(2θ)

a) TracerC.
b) Calculer la courbure aux points où elle est définie.
c) Calculer l’aire délimitée par la courbeC.

2

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Exercice 19Centrale MP[ 02470 ][correction]
Soita >0. On noteCla courbe d’équation polaire

r2=a2cos 2θ

a) TracerC.
b) Calculer l’aire délimitée par une boucle deC.
c) Calculer la longueur d’une boucle deCà l’aide de
Z1dt
0√1−t4

d) Déterminer le repère de Frént deC.
e) Déterminer le rayon de courbure deC.
f) Exprimer
Z1dt
0√1−t4

comme somme d’une série.

Exercice 20Mines-Ponts MP[ 01326 ][correction]
Soienta b >0etΦl’arc défini parx(t) =acos3tety(t) =bsin3tpourt∈R.
a) TracerΦ.
b) Quelle est la longueur de l’arc ?
c) Donner le rayon de courbure deΦet lieu des centres de courbures.

Enoncés

3

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(t+ 2π)etM(t)sont confondus.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox)
M(π−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Oy)
M(π2−t)est le symétrique deM(t)par rapport à la droitΔ :y=x.
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries d’axeΔ,(Oy)puis(Ox).
Tableau des variations simultanées
(yx00((tt3))==−s3coistsntcion2st2t
t0π4
x0(t) 0− −3√8
x(t) 1&2−32
y(t) 0%2−32
y0(t) 0 + 3√8L’astroïde b)ddst= 3|costsint|donc
m(t) ?− −1L= 3R02π|costsint|dt= 12R0π2costsintdt= 6.
c) Calculons la courbure en un point régulier de paramètret∈]0 π2[. La
courbure en les autres points se déduira par symétrie.
Etude ent= 0Une détermination angulaireαs’obtient par relèvement du système
c ost= cos(π−t)
Quxya((ntt))dt=1=0→t−20+32tt32+0+to(3t3)+o(t3)(sosinααis==−nct= sin(π−t)

p= 2,q= 3,~u0−32etv~10.

La tangente est horizontale et il y a point de rebroussement de première espèce.
plot([cos(t)ˆ3, sin(t)ˆ3, t=0..2*Pi]);

α=π−tconvient.
On en déduit

dαdαdt1
= =−
γds=dtds3 sintcost

4

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Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
~
M(t+ 2π)est l’image deM(t)par la translation de vecteur2πi.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Oy).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π]. La courbe obtenue sera complétée par
~
la symétrie d’axe(Oy)et par les translations de vecteurs2kπiaveck∈Z.
Tableau des variations simultanées
(yx00((tt1n=)i)s=−tcos(t)

Etude ent= 0
Quandt→0

On en déduit

t0
x0(t) 0 +
x(t) 0%
y(t) 0%
y0(t) 0 +
m(t) ? +

π
2
π
2
0
0

x(t) = 0t261+t3+oo((tt33))
y(t)=12t2+ 0t3+

0
p= 2,q= 3,~12et~v016
u

M(0)rebroussement de première espèce, la tangente y estest un point de
verticale.
plot([t-sin(t), 1-cos(t), t=-2..10]);

Cycloïde b)ddts= 2sin2tdoncL=R02π2 sint2dt= 8.
c) Déterminons la courbure en tout point de paramètret∈]02π[.
Une détermination angulaireαs’obtient par relèvement du système
(ocsinsαα=coniss=tt9

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