Sujet : Géométrie, Polygone convexe du plan

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Géométrie du plan.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Polygone convexe du plan

Dans tout le problèmedésigne un plan affine euclidien.
Le produit scalaire de deux vecteursetde ce plan est noté (|) et la norme d’un vecteurest notée

.

L’objet de ce problème est d’étudier les polygones convexes du plan.
Tous les demi-plansconsidérés dans ce problème seront supposés fermés, c’est à dire incluant leur droite
limite.

Définitions générales :

On appellecombinaison convexedes points1,2,…,tout point pouvant s’écrire comme barycentre des
points1,2,…,affectés de massesα1,α2,…,αavecα1,α2,…,α≥0 etα1+α2+⋯+α=1 .

Soit,deux points du plan. On appellesegmentd’extrémitésetl’ensemble,formé des points
combinaison convexe des pointset.

Soit (1,2,…,) (avec∈ℕ∗) une famille de points du plan. On appelleenveloppe convexede la famille
de points (1,2,…,) l’ensemble(1,2,…,) formé des pointscombinaisons convexes des
points1,2,…,.
En particulier,=(,)
.

Soitune partie du plan. On dit queestconvexessi∀,∈,,⊂.

1.
1.a
1.b
1.c
2.
2.a

2.b

3.

3.a

3.b

3.c
4.

4.a

Partie I

Premiers exemples de parties convexes.
Montrer que tout disque fermé est convexe.
Montrer que tout demi-plan du planest convexe.
Montrer que tout enveloppe convexe d’une famille de points est convexe.
Soitet′deux convexes du plan.
Montrer que∩′est convexe.
Montrer, par récurrence sur∈ℕ∗, que toute combinaison convexe depoints deest encore un

point de.
Soit1,2,3trois points non alignés du plan.
On appelle triangle de sommets1,2,3l’ensemble=(1,2,3) .
On note1 (le demi-plan délimité par la droite23) et contenant le point1.
On définit de même, par permutation circulaire, les demi-plans2et3.
Justifier que⊂1∩2∩3.
 
On introduit le repère affine=(1,12,13 ( on note) et, coordonnées des points) les∈.
Par quelles inéquations, relatives au repère, les demi-plans1,2et3sont-ils définis ?
Etablir1∩2∩3⊂et conclure.
On reprend les notations et les hypothèses de la question 3.
On posel’isobarycentre des points1,2,3.
Justifier que∉(12)∪(23)∪(31) .

4.b

En déduire qu’il existe> que0 tel(,)⊂
(avec(, disque de centre) leet de rayon).

Partie II

Dans l’intégralité de cette partie,désigne un point du planfixé.
∗
Pour toute partiede, on note∗l’ensemble défini par=

∈

/∀∈


,|≤1

.

Cette partie∗est appelé dual de la partieen.
1. Soitetdeux parties du plan.
1.a Montrer que∗est un convexe contenant.
1.b Etablir l’implication :⊂⇒∗⊂∗
.
1.c Justifier⊂∗∗où∗∗se comprend comme étant le dual endu dual ende.
2.a Déterminer∗puis{}∗.
2.b Soit>0 .
Etablir :((,)∗=(,1) .
3. Soitun point du plandifférent de.
 
3.a On note=∈/|=1 .
Montrer queest une droite perpendiculaire à () en un pointà préciser.
3.b Etablir que{}∗est le demi-plan délimité paret contenant le point.
Indice : on pourra introduire un repère orthonormé adapté au problème étudié.
4. On étudie maintenant le problème inverse :
Soitun demi-plan contenant le pointet délimité par une droitene passant pas par.
Justifier l’existence d’un pointdu plantel que= {}∗.

Partie III

On appelle polyèdre convexe toute partie bornée depouvant s’écrire comme intersection d’un nombre fini de
demi-plans.
Soit∈ℕ∗et ()1≤≤une famille finie de demi-plans. Pour tout∈ {1, 2,…,}, on notela droite
délimitant le demi-planet on considère le polyèdre=∩.
1≤≤
On suppose queest borné, on dit alors queest un polygone.
Pour tout 1≤≤, l’intersection∩, lorsqu’elle est non vide, est un segment du plan.
On l’appelle arête du polygoneet ses extrémités sont appelés sommets de.
Tout point dene figurant pas sur une arête deest dit intérieur à.
On suppose que de tels points existent, on dit alors queest non aplati.
1. Soitun point du polygoneetδune demi-droite d’origine.
On note={∈ {1, 2,…,}/δ⊄}et={∈ {1, 2,…,}/δ⊂}.
1.a Justifier que≠ ∅.
1.b Pour∈, on notele point intersection deδetde sorte queδ∩=,.
.
On pose=m∈inet on note0∈ {1, 2,…,}un indice tel que=0
En distinguant selon que∈ou∈, établir :∀∈ {1, 2,…,},0∈.
1.c Conclure queδ∩=,0.

2.

3.

3.a
3.b
3.c
4.

4.a

4.b

4.c

4.d
5.
5.a

5.b

Montrer que l’intersection d’une droiteet du polygoneest soit vide, soit égale à un segment dont
les deux extrémités appartiennent aux arêtes de.
Notons1,2,…,les sommets deet formons′(1,2,…,)
=
On désire établir que=′.
Justifier′⊂.
Justifier que les arêtes desont incluses dans′.
Montrer que tout point intérieur àest aussi dans′et conclure.
Soitun point intérieur à.
On reprend la notion de dual introduite dans la partie II.
On veut montrer que=∗∗.
Soit∉

Montrer qu’il existe un demi-plan, avec∈ {1, 2,…,}, tel que∉

.

En vertu de l’étude du II.4, on peut introduire un pointtel que= {}∗.
Montrer que∈∗.
En déduire que∉∗∗.

Conclure.
Soit1,2,…,des points non alignés et=(1,2,…,) .
Justifier l’existence d’un pointdu plan pour lequel il existe