Sujet : Géométrie, Triangles équilatéraux inscrits sur une hyperbole

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Coniques. Géométrie du plan. Polynômes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Triangle équilatéraux inscrits sur une hyperbole

euclidien rapport à un repère orthonormédésigne le plan affine ,  ,  ,désigne un réel strictement

positif. On note (, couple de coordonnées d’un point) lede. Soit (γ) l’hyperbole équilatère d’équation cartésienne=. 1. On considère trois points,,de (γ) , deux à deux distincts, dont les abscisses sont notées,,  respectivement. 1.a Déterminer les coordonnées (α,β centre de gravité de) dudu triangle.

1.b

2. 2.a

2.b

2.c

3.

3.a

3.b

4.

 

Déterminer les coordonnées (λ, l’orthocentre) dedu triangle. Vérifier que (appartient àγ) . On suppose, dans cette question, queest un triangle équilatéral. Que peut-on dire deet? Montrer que,,sont les racines du polynôme() avec()= 3 −3λ 2 −3 λ  2 2 +  λ 2 . On appelle sommets de (γ ( points d’intersection de) lesγ) avec la droite d’équation=. On suppose que (n’est pas l’un des sommets deγ) . Montrer que l’intersection du cercle circonscrit au triangleavec (γ) contient un pointdistincts de,,. Préciser les coordonnées de.

Soit ) 3un réel 3  2 +  2 . non nul et( polynôme défini par :) le(= 3 − 2 − 2    Déterminer le signe du produit(0)() . En déduire que( trois racines réelles deux à deux) admet distinctes et non nulles notées 1 , 2 , 3 . Soit 1 , 2 , 3 les points de (γ) d’abscisses respectives 1 , 2 , 3 . Démontrer que le triangle 1  2  3 est équilatéral. Donner une construction géométrique permettant d’obtenir tous les triangles équilatéraux dont les sommets appartiennent à (γ) .