Sujet Oraux : Polytechnique, Oraux X Algèbre

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02948 ] [correction] a) Montrer que P admet n racines distinctes z ,...,z dansC.n 1 n a) Montrer que tout sous-groupe additif deR qui n’est pas monogène est dense b) Calculer le déterminant de  dansR. 1 +z 1 ··· 11?b) Soit x∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinité de (p,q)∈Z×N tels que  . .. . .1 1 +z . 2  p 1  . . . x− 2) Montrer que ω(E ) est fini.n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 66 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 2 Exercice 12 [ 02675 ] [correction] Exercice 18 [ 03023 ] [correction] Soit E unC-espace vectoriel de dimension finie. Soient E unC-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). Déterminer les f∈L(E) tels que tout sous-espace vectoriel de E stable par f On noteI ={P∈C [X]/P (u) = 0} etI ={P∈C [X]/P (u) est nilpotent}.1 2 possède un supplémentaire stable. a) Montrer queI etI sont des idéaux non nuls deC [X].1 2 On note P et P leurs générateurs unitaires respectifs.1 2 b) Etablir un lien entre P et P .1 2 c) Montrer l’existence de Q∈I tel que u−Q(u) est diagonalisable2Exercice 13 [ 02861 ] [correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice   Exercice 19 [ 03033 ] [correction]0 ··· 0 1  . . . Soient A et B dansM (R). On suppose que A est nilpotente et qu’il existen. . . . . . ∈M (R)  n P∈R [X] tel que P (0) = 1 et B =AP (A). Montrer qu’il existe Q∈R [X] tel que  0 ··· 0 1 Q(0) = 1 et A =BQ(B).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 02948 ][correction]
a) Montrer que tout sous-groupe additif deRqui n’est pas monogène est dense
dansR.
b) Soitx∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinité de(p q)∈Z×N?tels que

p1
x−q<2
q

c) Montrer la divergence de la suite de terme général

1
un=
nsinn

Exercice 2[ 03243 ][correction]
SoitGun groupe multiplicatif de cardinalpαavecppremier etα∈N?.
Montrer que
Z(G)6={1}

Exercice 3[ 02909 ][correction]
SoientEun espace vectoriel,F1etF2deux sous-espaces vectoriels deE.
a) Montrer que siF1etF2ont un supplémentaire commun alors ils sont
isomorphes.
b) Montrer que la réciproque est fausse.

Exercice 4[ 02939 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie,petqdansL(E)tels que
p◦q=qetq◦p=p. Les endomorphismespetq ?sont-ils diagonalisables
codiagonalisables ?

Exercice 5[ 00229 ][correction]
SoientAetHdansMn(R)avec rgH= 1. Montrer :

det(A+H) det(A−H)6detA2

Exercice 6[ 00299 ][correction]
On pose
Pn(X) =Xn−X+ 1(avecn>2)

Enoncés

a) Montrer quePnadmetnracines distinctesz1     zndansC.
b) Calculer le déterminant de
1 +z11∙ ∙ ∙1
.
1 1 +z2...
.1∙.∙..∙..1.+11zn

Exercice 7[ 03032 ][correction]
Soitf:Mn(C)→Cnon constante telle que :
∀(A B)∈ Mn(C)2 f(AB) =f(A)f(B)
PourA∈ Mn(C), prouver l’équivalence :

Ainversible⇔f(A)6= 0

Exercice 8[ 00838 ][correction]
SoitA∈ M2(Z)vérifiant :
∃n∈N? An=I2
Montrer queA12=I2.

1

Exercice 9[ 00938 ][correction]
Soientn∈N?,AetBdansMn(C)etλ1     λn λn+1deux à deux distincts dans
C. On suppose, pour16i6n+ 1, queA+λiBest nilpotente.
Montrer queAetBsont nilpotentes.

Exercice 10[ 01353 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel etu∈ L(E)nilpotent. On suppose qu’il existe
P∈K[X]tel queP(u) = 0. SiQ∈K[X], existe-t-ilR∈K[X]tel que
R(Q(u)) = 0?

Exercice 11[ 02652 ][correction]
On fixen∈N?et on note
En={A∈ Mn(Z)∃m∈N? Am=In}
PourA∈En, on pose
ω(A) = min{m∈N?Am=In}

Montrer queω(En)est fini.

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Exercice 12[ 02675 ][correction]
SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie.
Déterminer lesf∈ L(E)tels que tout sous-espace vectoriel deEstable parf
possède un supplémentaire stable.

Exercice 13[ 02861 ][correction]
Déterminer les valeurs propres de la matrice
0∙ ∙ ∙0 1

. . .
10∙∙∙∙∙∙0111∈ Mn(R)

Exercice 14[ 02868 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie non nulle,(a b)∈C2,fetg
dansL(E)tels quef◦g−g◦f=af+bg.
Montrer quefetgont un vecteur propre commun.

Exercice 15[ 02954 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)telle que tr(Am)→0quandm→+∞.
Montrer que les valeurs propres deAsont de module<1

Exercice 16[ 02980 ][correction]
Soitϕune application deM2(C)versCvérifiant :
∀A B∈ M2(C) ϕ(AB) =ϕ(A)ϕ(B)etϕ

Montrer queϕ= det.

λ
0

10=λ

Exercice 17[ 02986 ][correction]
SoientNune norme surCnetkkla norme surMn(C)qui lui est associée.
SoitA∈ Mn(C)telle que 1 est valeur propre deAetkAk61.
Montrer que 1 est racine simple du polynôme minimal deA.

Enoncés

Exercice 18[ 03023 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E).
On noteI1={P∈C[X]P(u) = 0}etI2={P∈C[X]P(u)est nilpotent}.
a) Montrer queI1etI2sont des idéaux non nuls deC[X].
On noteP1etP2leurs générateurs unitaires respectifs.
b) Etablir un lien entreP1etP2.
c) Montrer l’existence deQ∈ I2tel queu−Q(u)est diagonalisable

2

Exercice 19[ 03033 ][correction]
SoientAetBdansMn(R). On suppose queAest nilpotente et qu’il existe
P∈R[X]tel queP(0) = 1etB=AP(A). Montrer qu’il existeQ∈R[X]tel que
Q(0) = 1etA=BQ(B).

Exercice 20[ 03073 ][correction]
Etant donnéEun espace vectoriel de dimension finie,uun endomorphisme deE
etλun scalaire, on dit queλest séparable si le noyau et l’image deu−λId sont
supplémentaires.
a) Montrer que tout scalaire non séparable deuen est une valeur propre.
b) Montrer qu’un endomorphisme scindé est diagonalisable si, et seulement si,
toutes ses valeurs propres sont séparables.
c) Caractériser la séparabilité d’une valeur propre à l’aide du polynôme minimal
deu.
d) Soit, avec ces notations, l’endomorphismemdeL(E)qui àvassocieu◦v.
Comparer l’ensembles ses scalaires séparables relativement àmavec celui des
scalaires séparables relativement àu.

Exercice 21[ 03095 ][correction]
SoitΦ :M2(R)→Rvérifiant
∀A B∈ M2(R)Φ(AB) = Φ(A)Φ(B)etΦ

0
1

1
0

6= Φ(I2)

a) Démontrer queΦ(O2) = 0.
b) SiAest nilpotente, démontrer queΦ(A) = 0.
c) SoientA∈ M2(R)etBla matrice obtenue à partir deAen permutant les
lignes deA.
Démontrer queΦ(B) =−Φ(A).
d) Démontrer queAest inversible si, et seulement si,Φ(A)6= 0.

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Exercice 22[ 03255 ][correction]
Soit
0 (b)
Mn=).0∈ Mn(C)
.
.
(a
A quelle condition la matriceMnest-elle diagonalisable ?
Déterminer alors une base de vecteurs propres

Exercice 23[ 03270 ][correction]
a) Déterminer les entierskpour lesquelles l’équation

eiθ+ eikθ= 1

admet au moins une solutionθ∈R.
b) SoitSkl’ensemble des suites réellesutelles que

∀n∈N un+k=un+un+k−1

A quelle condition surk,Skcontient-il une suite périodique non nulle.

Exercice 24[ 03474 ][correction]
SoientKun corps etA1 A2     Andes matrices deMn(K)nilpotentes
commutant deux à deux.
Montrer
A1A2   An=On

Exercice 25[ 03477 ][correction]
SoitA∈ Mn(R).
a) On supposeA3=A2. Montrer queA2est diagonalisable et queA2−Aest
nilpotente.
b) Plus généralement on supposeAk+1=Akpour un certain entierk >0.
Etablir l’existence d’un entierp >0tel queApest diagonalisable etAp−A
nilpotente.

Exercice 26[ 03024 ][correction]
On définit surR[X]le produit scalaire
hP|Qi=Z1P(t)Q(t) dt
0

Enoncés

Existe-t-ilA∈R[X]tel que

∀P∈R[X] P(0) =hA|Pi?

Exercice 27[ 03079 ][correction]
On définit
Qn(X 2) =n1n!(X2−1)n(n)
a) Soitn>1. Montrer queQnpossèdenracines simples dans]−11[.
b) Montrer que
Qn=Xn+ (X2−1)Rn(X)
avecRn∈R[X]. En déduireQn(1)etQn(−1).
c) On pose, pour(P Q)∈R[X]2,
hP Qi=Z−1P(t)Q(t) dt
1

Montrer queQnest orthogonal àRn−1[X].
d) CalculerkQnk2.

3

Exercice 28[ 02915 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)antisymétrique. Montrer queAest orthogonalement semblable à
une matrice diagonale par blocs avec sur la diagonale des zéros et des blocs de la
forme
−0aa0
oùa∈R

Exercice 29[ 03076 ][correction]
Soit(Ehi)un espace euclidien.
Pourϕ∈ O(E), on noteM(ϕ) =Im(ϕ−IdE)etF(ϕ) = ker(ϕ−IdE).
Siu∈E\ {0},sudésigne la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplanu⊥.
a) Soitϕ∈ O(E). Montrer queM(ϕ)⊕⊥F(ϕ) =E.
b) Si(u1     uk)est libre, montrer :
M(su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk) =Vect(u1     uk)
c) On suppose(u1     uk)libre. Soientv1     vk∈E\ {0}tels que
su1◦ ∙ ∙ ∙ ◦suk=sv1◦ ∙ ∙ ∙ ◦svk