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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Sylvain POIRIER http://spoirier.lautre.net/
Relativit´erestreinteet initiationa`laphysiquemathe´matique
1.Introductionge´ne´rale 1.1.Quest-cequelasciencemath´ematique? Pourledirebri`evement,cestle´tudedessyst`emes´eventuellementinnismaisconstitue´sde pursobjets´ele´mentaires,dontlexistenceestabstraite,inde´pendantedumondeext´erieur.Chaque constituant(e´l´ement,relation. . .ˆedeetrlereitfaelueutanpasesruopyeaxtcd,tuedec)`tmesssy toutourien:deuxobjetssonte´gauxoudie´rents,sontreli´esounesontpasrelie´s,uneop´eration donneunr´esultatexactement. . . Lechoixdetelssyste`mes`ae´tudierestlui-mˆeme´egalementunchoixmath´ematique,encesens quilestdonne´pardesconditionsdecomplexit´elimite´e(contrairementparexemple`alabiologiequi d´ependdeschoixarbitrairessecre`tementaccumul´esparlaNaturependantdesmilliardsdann´ees). La science th´ tique est ainsi autonome par rapport aux contingences de notre Univers, mais ma ema peuttoujourssappliquer`achacundesinnombrableslieuxouaspectsparticuliersdecedernierou` detellessituationsdecomplexite´limit´eepeuventserencontrer. Bienquecesobjetssoientdenatureind´ependantedetouteformederepre´sentationsensible(ou apparence)particulie`re,onnepeutlescomprendrequenselesrepr´esentantsousunecertaineforme. Ilpeutyavoirplusieursformulationsoumani`eresdeserepre´senterunemˆemeth´eorie,toutese´tant rigoureusemente´quivalentesentreellesmaisleurecacite´,leurpertinencepeuteˆtretresdi´erente. ` Leplussouvent,leside´essontdabordd´evelopp´eessousformedintuitions,dimaginationsplusou moinsvisuelles,puiscristallise´esendesformulesetdesphraseslitt´erairespoureˆtrecommunique´es, e´critesoutravaille´essouscesautresformes.Etonnepeutselibe´rerduneformederepre´sentation particuli`erequend´eveloppantdautresformesderepre´sentationetensexer¸canta`traduireles objetsetlesconceptsduneforme`alautre. 1.2.Quest-cequelage´ome´trie? ´ Etymologiquement, le motrteimoe´ge´ne,unealorigiodts`,cnerreC.deretelaeisumeisng sciencereli´eea`lare´alit´econcre`te:celledelespacequinousentoure,oucelledesplans:celui du sol lorsqu’il est plat, ou de toute surface plane (papier, tableau. . .), que l’on peut voir et sur laquelleonpeutdessinerfacilement.Lege´om`etregrecEuclideenae´critlepremieruneformulation axiomatiquedanslecasduplan,dou`lenomdo´`lage´ome´trieplaneusuelle. nne a La´eom´etrieeuclidienneestainsilapremi`ereequisyhpeiroe´htneeu´ethieorthma-e´ir-d`at-esc, g matiquequimod´eliselar´ealit´ephysique,enlid´ealisant:tandisquedeuxpointstropproches lundelautrepeuventdicilementeˆtredistingu´espardesmesuresphysiques,enmath´ematique ilfauttrancher:ilssontsoite´gaux,soitdistincts(ainsi,entredeuxpointsdistinctssetrouvent dautrespoints,etainsidesuite:dansunsegmentdedroitedelongueurnieilexisteuneinnit´e depoints).Etontrancheauplussimple:cetteg´eom´etriesed´enitcommee´tantlaplussimple theorieduplanoudelespaceenaccordaveclexpe´riencephysiquehabituelle.Cestaussilunique ´ the´oriedanslaquelleestvraiexactementtoute´nonce´simplequisemblevrai,auxincertitudesde mesurepre`s,pourcettemeˆmeexpe´rience. Pourunmath´ematicienmoderne,lemotg´eom´etried´esignelenomdefamillequeportent ungrandnombredeth´eoriesmath´ematiquesquiontentreellesplusoumoinsdeliensdeparent´e, notamment le fait qu’il est plus ou moins possible de les visualiser, d’en dessiner des figures. D’un pointdevuemath´ematique,ellessonttoutese´galementvraies,serapportanttoutesa`desrealite´s ´ mathe´matiques(desensemblesdepoints. . .). 1.3.Commentpeut-onvisualiserdautresg´eom´etries? 1
Maiscommentvisualise-t-onlag´eom´etrieeuclidienne,dabord?Ellenestpascellequelon voitatlahcuedpmisivsenoarlag´eom´etrieddriceetemtnc,gom´euteri´qeesrphi´e. En effet, la vue d’un point ne nous renseigne que sur la demi-droite issue de l’œil auquel ce pointappartient;etcettedemi-droitepeutserepre´senterparsonpointdintersectionavecune sphe`recentr´eesurlœil.Lorsquonbougelœilet/oulatˆete,lamodicationdecequonvoit corresponda`unerotationdecettesph`ere.Lexempleleplusclairencesensestceluidesobjets astronomiquesdontonnep¸itquelimagesurlasphe`rec´eleste(quitournea`causedela erco rotationdelaTerresurelle-meˆme). Maislag´eom´etrieeuclidienne(duplanoudelespace)estseulementcellequonaleplus l’habitude deconcevoir. Enimaginant une image de dimension 2 (sur la effet, en voyant ou en sphe`redevision),onattribuea`chaquepointunesensationdeproximite´oude´loignement,eton estfamilieraveclamani`eredontcetteperceptionsetransformelorsquontournelobjetouquon changedepointdevueparrapport`alui.Cestcettefacult´e,fruitduneconstructionmentale, quiconstituenotrecompr´ehensiondelage´ome´trie,etnotreagilit´ea`lemployerenrendlusage tellementfacilecommeceluidunesensation´ele´mentaire,quesoncaracte`reindirectenestpresque anecdotique. Or,laperceptionintuitivedesautresge´om´etriesrele`vedumeˆmeprincipe:celuiquiconsiste`a voirune chose pour enconcevoirecnoca`rinevraproutp.Ereuteaunsrteimoe´gse´utreidaainsvoir appuyantsurunevisionqui(h´las)demeurelamˆeme,unbonmoyenestdetravaillersurcette en s e facult´edeconcevoirlespaceeuclidien,enlaparticularisant,enlamodiantouenlag´ene´ralisant. (Maisensuite,ilestvraiquecelienaveclavisionnesepr´eservepasfacilement,etqueletravail deconceptiondevientplusintenseettraduitenformulesavecunroˆledelavisionrelativement moindre). Parexemple,onpeutconcevoirdesespaces(euclidiensounon)dedimensionsup´erieurea ` 3.Ilsnecomportentmathe´matiquementaucuneve´ritablenouveaut´eparrapport`aladroite,au planeta`lespaceusuel,meˆmesilabsencetotaledexp´erienrt`xdonneauxnovices ce par rappo a eu limpressiondunediculte´insurmontable.Pourconcevoircesespaces,onpeutparexemplesedire quonnevoitquedeuxoutroisdimensionsenmˆemetempssousformedecoupeoudeprojection, maisquilyenadautresenr´eserve,onpeutleschanger. . . 1.4Lage´ome´trieeuclidiennede´crit-elleexactementlespacephysique? Non.Nonseulementletempssyajouteenrelativit´erestreintepourformerunespacede dimension4quinestpaseuclidien(lespace-temps)etestplusr´eel(prochedelare´alit´ephysique) quenotreespacededimension3usuel,maismeˆmesionserestreint`aconsid´erersonapparence despacededimension3,lath´eoriedelarelativite´g´en´eralenousenseignequenre´alite´,cetespace, pourautantquonpuisseencorelemesurer,nob´eitpasexactta`l´´trieeuclidienne emen a geome (inde´pendammentdetoutequestiondemate´rialisationdesobjetsoudepr´ecisiondesmesures). Biensuˆr,lerreurdelesupposereuclidienestextrˆemementfaible,plusencorequedautreserreurs beaucouppluscompr´ehensiblesetde´ja`courammentn´eglige´es:lorsquoncartographieuner´egion delaTerre(deform``arre´eparexemple)detailleLilanssimner´t`aulnae,udnoigen e a peu pres c plan,l´eome´tiquenormaledue`alarotondit´edelaTerrevaut(endistancesurleterrain) erreur g r L3 R2 o`uRTarednlearoytsel0kme=637uruopmc4,2elpmexrepaitfauieq,crenlargedener´egio 10 km. Celledue`alarelativit´ege´ne´rale,quimesuredonclememetypeded´ecallageparrapport ˆ `alage´ome´trieeuclidienneplanemaisconcerneleplantangenta`laTerreetconstitueuneet suppl´ementaireparrapporta`celuiquoncalculeraitentermesdelaseulerotondit´edelaTerre, vaut 2L3g Rc2 o` 9,8.s2acc´el´estlpesenaetrruetteaoidnc= 3.108m.s1.imulere`essedelaestlavit ug= m Elleestdonc720millionsdefoisplusfaible(pr´ecise´ment,pournimportequeller´egionchoisie);
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