Les perturbations stationnaires 1 Principe général

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Les perturbations stationnaires 1 Principe général

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Université Paul Sabatier Master de Physique Fondamentale
Ra elsde cours n 1
Les perturbations stationnaires
1 Principegénéral
Mécanique Quantique 20102011
1.1 Positiondu problème On considère la situation d’un hamiltonienHqui se décompose sous la forme H=H0+W(1) dans lequelH0est un hamiltonien dont on connaît les états propres et valeurs propres (supposés discrets par simplicité) : i0i =E|ϕi, i= 1, ..., g(2) H0|ϕip pp p etWa des éléments de matrice petits devant ceux deH0(ou plus précisément devant les différences d’éléments de matrice consécutifs deH0). Ainsi, l’effet deWest de "pertur ber légèrement" les valeurs propres deH0. Cette situation se rencontre, soit lorsqueW correspond à une interaction contrôlée et de force variable (par exemple application d’un champ extérieur (électrique ou magnétique) sur l’atome), soit lorsqueWest associé à un effet interne à l’atome (interaction spinorbite par exemple). La théorie des perturbations consiste à partir des états propres et valeurs propres de H0, et d’après les éléments de matrice deWdans la base d’états propres deH0, à en déduire une expression approchée des valeurs propres et états propres deH. On étudie dans ce chapitre le cas oùHet doncWsont indépendants du temps ce qui correspond aux perturbations stationnaires. Pour exprimer clairement la petitesse des éléments de matrice deWdevant ceux de H0, on introduit le paramètre sans dimensionλ0en exprimantWsous la forme c W=λ0W(3) c avec|λ0| ≪1etWopérateur d’éléments de matrice comparables à ceux deH0. L’intro duction de ce paramètreλ0prend tout son sens dans le cas d’une perturbation liée à un champ extérieur de force variable. Nous verrons en fait que le résultat est indépendant de ce paramètre qui par contre permet de mieux séparer les différents ordres de perturbation. Nous considérerons en fait un problème plus général que le problème initial, dans lequel le Hamiltonien du système dépend de façon continue du paramètreλ: c H(λ) =H0+λW .(4) Une fois les solutions générales trouvées, nous substitueronsλ0àλpour obtenir la solution du problème initial.
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Rappels de cours
1.2 Résolutionapprochée de l’équation aux valeurs propres
Nous souhaitons donc résoudre
H(λ)|Ψ(λ)i=E(λ)|Ψ(λ)i,
Nous admettrons queE(λ)et|Ψ(λ)ipeuvent se développer sous la forme
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P q E(λ) =λ εq q=0 (6) P q |Ψ(λ)i=λ|qi q=0 q L’objectif est de chercher les corrections successives à l’énergieλ εqet aux états propres q λ|qi. Ces corrections étant de plus en petites, on procèdera itérativement et on s’arrêtera lorsque la précision requise sera suffisante. L’équation aux valeurs propres ne définit|Ψ(λ)i qu’à un facteur près. Nous imposerons|Ψ(λ)inormé et sa phase telle queh0|Ψ(λ)isoit 2 réel et positif. En développant|hΨ(λ)|Ψ(λ)i|= 1et en identifiant les ordres enλ, on obtient pour les ordres 0 et 1 :
h0|0i= 1 h0|1i+h1|0i= 0
qui nous donneh0|1i= 0carh0|Ψ(λ)iest réel. On peut maintenant réécrire l’équation aux valeurs propres (??) sous la forme     ∞ ∞  X XX q qq c    H0+λW λ|qi=λ εqλ|qi q=0q=0q=0
(7)
(8)
Pour que cette équation soit vérifiée quel que soitλ(mais vérifiantλ1), il est nécessaire d’égaler les coefficients des puissances successives deλ. On obtient ainsi, pour les termes d’ordre 0, 1, 2 etqenλ:
(H0ε0)|0i= 0   c (H0ε0)|1i+Wε1|0i= 0   c (H0ε0)|2i+Wε1|1i −ε2|0i= 0   c (H0ε0)|qi+Wε1|q1i −ε2|q2i...εq|0i= 0
(9) (10) (11) (12)
L’état|0iest donc état propre deH0avec la valeur propreε0qui est donc une des valeurs 0 propres deH0. Nous prendrons par exempleE. p Considérons l’ensemble des états propres deH(λ)associés à des valeurs propresE(λ) 0 qui tendent versElorsqueλ0. Cet ensemble est nécessairement un sousespace p 0 0 , degré de dégénérescence deEest. En particulier, si vectoriel de dimension égale àgn pEp non dégénérée, celleci ne peut donner lieu qu’à une seule valeur propreE(λ). 0 Deux cas de figure bien distincts peuvent se produire suivant queEest dégénérée ou p pas.
Rappels de cours
2 Perturbationd’un niveau non dégénéré
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0 Considérons un niveau d’énergie non dégénéré deH0, d’énergieEpet état propre|ϕpi. Compte tenu de ce qui précède, on a
0 ε0=E p |ϕpi=|0i
er 2.1 Correctionsde l’énergie au1ordre En projetant l’équation (??) d’ordre 1 surhϕp|, on obtient c hϕp|(H0ε0)|1i+hϕp|(Wε1)|0i= 0
0 et les relations (??) et (??) : soit, en utilisanthϕp|H0=hϕp|Ep
c ε1=hϕp|W|ϕpi
(13) (14)
(15)
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er 2.2 Correctionsde l’état propre au1ordre i En projetant maintenant l’équation (??) d’ordre 1 surhϕ|(avecq6=p), on obtient q c i i ϕ| hϕ|(H0ε0)|1i+hq(Wε1)|0i= 0(17) q ce qui nous donne c i hϕ|W|ϕpi i q hϕ|1i=(18) q 0 0 EE p q i On peut ainsi obtenir successivement les projections de|1isur tous les étatshϕ|possibles. q Il vient donc alors ic X X hϕ|W|ϕpi q i |1i=|ϕi(19) q 0 0 EE q6=p ip q
nd 2.3 Correctionsde l’énergie au2ordre On projette maintenant l’équation (??) d’ordre 2 surhϕp|, et on obtient c hϕp|(H0ε0)|2i+hϕp|(Wε1)|1i −ε2hϕp|0i= 0
soit, en utilisant les mêmes relations que précédemment :
c i2 ϕ|W|ϕ X X |hq pi| ε2= 0 0 EE p q q6=p i
(20)
(21)
0 0 L’effet du niveauEest donc de "repousser" le niveau d’énergieE. Il faut de plus q p 0 0 remarquer que pour un état fondamental, on a toujoursE <E(pour toutq). La p q nd correction en énergie du2ordre est donc toujours négative.
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Rappels de cours
2.4 Bilan On peut réécrire l’ensemble des corrections trouvées, en remarquant que dans chaque c terme il apparaîtλWqui est égal àWune fois que l’on a substituéλ0àλ. On obtient alors simplement : i2 X X |hϕ|W|ϕpi| 0q EpEp+hϕp|W|ϕpi+(22) 0 0 EE p q q6=p i
i X X h | ϕqW|ϕpi i |Ψpi ≃ |ϕpi+|ϕi q 0 0 EE p q q6=p i
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qui ne fait plus apparaître le paramètreλintroduit. On voit ici que les conditions de validité (ordres successifs d’importance décroissant suffisamment rapidement pour obtenir une convergence de la série) imposent la condition : i0 0 E|.(24) hϕq|W|ϕpi ≪ |Eq p
3 Perturbationd’un niveau dégénéré
La difficulté tient au fait que l’état|0i, état propre deH0, n’est plus déterminé de i façon unique. Il peut être égal à l’un quelconque des états|ϕiou à une combinaison q 0 linéaire de ceuxci. C’est à dire qu’il appartient au sousespace propre associé àEque p nous notonsEp. 0i Le niveauEdégénérégpfois ({|ϕpi}, i= 1, ..., gpétats propres deH0) donne naissance, p sous l’effet de la perturbationWàfpénergies distinctes (1fpgp). i En projetant l’équation (??) d’ordre 1 surhϕ|, on obtient p i i c hϕ p|W|0i=ε1hϕ|0i,(25) p puis en insérant une relation de fermeture : X X c i jj i hϕ|W|ϕihϕ|0i(26) p qq|0i=ε1hϕp q j j alairehϕ|0in’est non nul que siq=p. Il reste donc Comme|0i ∈ Ep, le produit scq X i jj i c hϕ|W|ϕihϕ|0i=ε1hϕ|0i(27) p pp p j c i j Les éléments de matricehϕ|W|ϕisont en fait les éléments de matrice de la restriction p p c c deWau sousespace propreEpque nous noteronsWp. L’ensemble desgpequations (??) pouri= 1, ..., gpreprésente une équation aux valeurs propres dansEp. L’état|0iest donc c un état propre deWp. La résolution de l’équation aux valeurs propres c Wp|0i=ε1|0i(28) nous donne donc simultanément les corrections, à l’ordre 1 de la théorie des perturbations, aux états propres et valeurs propres. On remarque donc que pour trouver l’ensemble des corrections à l’ordre 1 de la théorie c des perturbations, il suffit de diagonaliser successivement les restrictionsWpà chacun des sousespaces propresEpdeH0.
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