Maxwell - Chapitre 2 Les équations de Maxwell homog`enes

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Maxwell - Chapitre 2 Les équations de Maxwell homog`enes

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Chapitre 2
Les´equationsdeMaxwell homoge`nes
1 J.C.Maxwellauni´elestravauxdAmp`ereetdeFaraday.Les´equations quiportentsonnomgouvernenttouslesphe´nom`enes´electromagne´tiqueset peuventˆetrecouple´esgraˆceauxrelations constitutives(cf. chapitresuivant). Parhomoge`ne,onentendiciquilnyapasdesourcedanslevolumedinte´rˆet. Dansplusieursapplicationsge´ophysiques,cetterestrictionestjusti´ee:par exempleenprospectionVLFpourlaquellelasourceesta`plusieurscentaines dekmdudomainede´tude. ~ ∂b r ×~e=(2.1) ∂t ~ ∂d ~ ~ r ×h= +j(2.2) ∂t ~ r ∙b(2.3)= 0 ~ r ∙d=ρ(2.4) ~ ~ o`ue~iqtrecel),/m(Vueetsma´pelhcbudnilgamnoitcn´etique(Tesla),d 2~ ~ lede´placementdi´electrique(C/m),hm/,)eA(ituqnge´lahceampmjla 2 3 densit´edecourant(A/m)etρalgearchde´eitnsdeuq(e/cme´eltcir). Un petit mot sur la notation.aDelsnge´eetrltdbullanu,oteexraseliti les conventions suivantes dans ce cours:les champs en domaine temporel 1 Les bonnes biographies de James Clerk Maxwell sont nombreuses.Notons seulement iciquilapr´esente´sapremi`ereconf´erence`alaRoyalSocietyofEdinburgha`lˆagede14 ans(sujet:lesovales)etquemalgr´esesdonsexceptionnels,ilnapas´et´eMajordeson coll`ege,ayante´t´edevanc´eparuntype(nomme´Campbell)devenuplustardprofdeGrec ancien.Campbellaparlasuite´ecritunebiographiedeMaxwell. 5
sontenminuscules,leschampsendomainedeFourier(fr´equentiel)sonten MAJUSCULES.Onsp´ecieralorsquelatransformationdeFourierconcerne e´galementlesvariablesspatiales.Parde´faut,lesT.F.nesefontquentemps vsfre´quence. Prenons la divergence de (2.2):on obtient ~ ∂d ~ ~ r ∙ r ×h=r ∙+r ∙j(2.5) ∂t Leschampsetcourantssontcontinusetde´rivablesentouspointscarilny apasdesingularite´relie´e`aunesource.Onpeutdoncpermuterlordrede de´rivation. ~ ~~ r ∙ r ×h=r ∙d+r ∙j(2.6) ∂t Letermedegaucheestidentiquementnul.Ins´erons(2.4)dansle´quation ci-dessus: ∂ρ ~ =r ∙j(2.7) ∂t Pourunmilieuhomog`enepeuconducteur,telsqueparexemplelesmat´e-riauxg´eologiques,leschargeslibresρled-(t.i.eerrse`rttnnemedipaspesiised viennentli´ees).Parexemple,pourunmate´riauder´esistivite´10000Ω.m, cettedissipationduremoinsdunemicroseconde.Commelesfr´equences utilise´esenEMsontlaplupartdutempsinfe´rieures`a10kHz,onpeutsup-poser que∂ρl/∂tIl ne reste donc que= 0. ~ r ∙j(2.8)= 0 Notezquececineseravalablequepourunmilieuhomoge`ne.Nousverrons plusloinquedeshe´te´roge´ne´it´esprovoquentdesaccumulationsdecharges auxinterfacesetqueparcons´equent∂ρ/∂t6= 0. Digression.ruocselsisyhpedsanDvisiujqsua`quequevousavezsu ~ maintenant, vos profs vous ont sans doute dit quebque.´etimagnhampltceteia´ ~ Ici, on vous dit que c’esthvous aurait menti?! On Non,pasvraiment.Cad´ependdequoionparle:siontraitedelaquantit´e ~ physique fondamentale, alorshestlichaevrange´pmam.e`Lituq`uaobˆleat ~ blesse, c’est que tout fondamental qu’il soit,hn’est pas mesurable.Ce qui ~ estmesure´estb. Parexemple, si on place une bobine pour mesurer le champ magne´tique,cequiestmesur´eestlaforce´electromotriceinduitedans la ~ 2 bobine, i.e.∂b/∂tN πrpour une bobine circulaire de rayonrecedeitu´onst Ntours.
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