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Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique Chapitre 1 25 Chapitre 1 : dessin, figure et paradigmes géométriques dans la littérature Chapitre 1 : Dessin, figure et paradigmes géométriques dans la littérature L’habitude de la rigueur mathématique nous invite tout naturellement à définir aussi clairement que possible les objets dont nous parlons. Mais si en mathématiques un mot correspond sans ambiguïté à un seul objet (du moins, en général), nous verrons que ce n’est pas le cas en didactique des mathématiques. Je vais, dans ce chapitre, détailler deux types d’objets, à partir de ce qu’ont pu écrire un certain nombre d’auteurs, pour la plupart didacticiens. Tout d’abord, je m’intéresserai aux objets « dessin », « objet géométrique », « figure » qui sont ceux sur lesquels nous travaillons tout naturellement dans le cadre de la géométrie. Je ferai donc un tour d’horizon, le plus large possible à défaut d’être exhaustif, des différentes acceptions de ces mots ; puis je préciserai le sens que je leur donnerai dans la suite de mon travail. Dans un deuxième temps, je présenterai ce qui sera le support du cadre théorique de cette thèse à proprement parler : la distinction des paradigmes géométriques G1 et G2. Je comparerai et commenterai pour cela les approches de Houdement-Kuzniak et Parzysz. 1. Dessin – objet géométrique « Commençons par fixer quelques points de la ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles,  en environnements papier-crayon et informatique
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Chapitre 1
Chapitre 1 : dessin, figure et paradigmes géométriques dans la littérature
  
Chapitre 1 : Dessin, figure et paradigmes géométriques dans la littérature
L’habitude de la rigueur mathématique nous invite tout naturellement à définir aussi clairement que possible les objets dont nous parlons. Mais si en mathématiques un mot correspond sans ambiguïté à un seul objet (du moins, en général), nous verrons que ce n’est pas le cas en didactique des mathématiques. Je vais, dans ce chapitre, détailler deux types d’objets, à partir de ce qu’ont pu écrire un certain nombre d’auteurs, pour la plupart didacticiens.  Tout d’abord, je m’intéresserai aux objets « dessin », « objet géométrique », « figure » qui sont ceux sur lesquels nous travaillons tout naturellement dans le cadre de la géométrie. Je ferai donc un tour d’horizon, le plus large possible à défaut d’être exhaustif, des différentes acceptions de ces mots ; puis je préciserai le sens que je leur donnerai dans la suite de mon travail. Dans un deuxième temps, je présenterai ce qui sera le support du cadre théorique de cette thèse à proprement parler : la distinction des paradigmes géométriques G1 et G2. Je comparerai et commenterai pour cela les approches de Houdement-Kuzniak et Parzysz.
1. Dessin – objet géométrique
« Commençons par fixer quelques points de la terminologie que nous utiliserons dans ce qui suit. Il ne s’agit pas de faire du verbalisme pour le plaisir : une mise au point s’impose, de par la polysémie même du mot « figure » dans le champ sémantique de la géométrie. En effet, ce terme désigne soit l’objet géométrique (idéal, au sens platonicien) sur lequel porte l’étude, soit un dessin représentant cet objet. » [Parzysz. 1989, page 13]. Consciente de la nécessité de fixer de manière précise le vocabulaire utilisé par la suite dans cette thèse dès le début du travail, j’ai voulu faire le point sur les mots dessin, figure, objet géométrique. Je suis tout naturellement allée examiner le texte de mon directeur de thèse sur ce sujet. Tout semblait clair et dit en quelques lignes, et cela m’a suffi pendant quelques temps … Mais la lecture d’articles publiés postérieurement m’a vite obligée à remettre en
    
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cause ce point de vue. En effet, comme je vais le montrer dans ce qui suit, le mot figure est employé par chacun dans un sens qui lui est propre.
1.1. Dessin – objet géométrique
Les deux points de vue sur la figure présentés ci-dessus par Parzysz (dessin – objet géométrique) sont le plus souvent mis en relief par l’utilisation de deux mots distincts. Nous trouvons une explicitation de ces mots notamment dans [Parzysz. 1988, page 80] : « La figure géométrique est l’objet géométrique décrit par le texte qui la définit, une idée, une création de l’esprit tandis que le dessin en est une représentation »5 ainsi que dans divers articles d’Arsac : « Il est classique depuis Platon de distinguer la figure tracée sur le papier (ou l’écran), qu’il est naturel de désigner comme un dessin, de l’objet géométrique sur lequel porte en fait la démonstration » [Arsac. 2004] « Nous distinguons dans la suite le dessin de la figure, désignant par dessin le dessin concrètement tracé sur une feuille de papier (ou dans le sable pour Archimède) et par figure l’objet mathématique dont le dessin n’est qu’une représentation… Ainsi la figure est un élément du « monde mathématique » et non du monde sensible…. »[Arsac. 1989, page 86] ou encore dans un article de Laborde et Capponi : « On distingue les objets et relations géométriques qui sont de nature théorique, de leurs extériorisations dans des systèmes de signifiants divers. On s’intéresse en particulier aux réalités spatio-graphiques (dessins produits par la trace du plomb sur le papier, d’un bâton sur le sable, d’électrons sur l’écran de l’ordinateur) qui représentent ces objets théoriques. »[ Laborde & Capponi. 1995] Nous avons donc d’un côté le dessin, et c’est ce terme « dessin » que je garde pour cet objet, trace matérielle sur le papier, le tableau, le sable, l’écran d’ordinateur, représentation pour les experts dans l’espace sensible d’un objet géométrique théorique … et de l’autre cet objet géométrique théorique lui-même, qui est souvent appelé « figure » par les divers auteurs, mais pour lequel je garderai l’expression « objet géométrique théorique », OGT pour simplifier le                                                  5is the geometrical object which is described by the text defining it. »« the FIGURE
    
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discours, pour éviter les ambiguïtés, au moins dans ce premier temps de clarification du vocabulaire. Celui-ci peut être envisagé, comme les extraits précédents le montrent, d’au moins deux points de vue : un objet défini par une théorie, par exemple la géométrie euclidienne, à partir de définitions, d’axiomes, etc. et donc complètement dans le monde mathématique ou bien un objet idéal, au sens de Platon, comme le rappelle Arsac : « Les constituants de la figure (points, segments) peuvent être considérés comme ayant un statut d’objets idéaux (point de vue grec) ou comme simplement définis par des axiomes (suivant un point de vue moderne)… » [Arsac. op.cit., page 86] Le point de vue « objet idéal » est envisagé par [Arsac. 1989] avec les élèves de collège sous la forme : « la figure peut être considérée à cet âge (12 ans) comme un dessin « qui serait infiniment précis ». » La différence entre ces deux points de vue porte sur la nature du lien entre l’OGT et la réalité. L’objet idéal correspond à une sorte de « passage à la limite » à partir de l’objet réel, dans une problématique de la précision. Les dessins, objets réels, peuvent être de plus en plus précis, en variant les techniques de tracé, les instruments, etc. L’OGT objet idéal est la limite, l’objet « infiniment précis ». Comme cela se produit fréquemment avec les limites, cet objet change de nature : il n’est plus physique comme les dessins dont il est la limite, c’est une construction mentale qui appartient alors au champ théorique. L’objet défini par une théorie, par exemple la géométrie euclidienne, a, lui, « coupé le cordon ombilical » avec la réalité. Certes, les objets de la géométrie euclidienne ont été définis pour modéliser la réalité. Mais, à partir des définitions, axiomes et règles de déduction, les objets définis dans la géométrie euclidienne prennent leur indépendance avec la réalité et ont une existence propre dans le champ des mathématiques. L’OGT appartient alors au monde mathématique et le dessin n’est plus qu’un représentant de l’OGT dans le monde sensible. Cette distinction entre les deux manières d’envisager l’objet théorique géométrique lui-même me paraît importante car nous verrons par la suite que ce peut être un outil d’analyse des productions des étudiants (par exemple dans la reconnaissance de dessins comme étant ou non des « carrés ») mais aussi comme outil de comparaison des paradigmes géométriques proposés par Houdement-Kuzniak ou Parzysz, ou encore pour expliciter les théories ou technologies liées à une technique.  
    
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Un schéma, qui va évoluer au cours de ce chapitre, va permettre de mettre en évidence les divers éléments pris en compte :  dessin  
objet géométrique théorique
 Objet défini par une théorie géométrique  Objet idéal
Trace matérielle sur un support, réalité spatio-graphique  La flèche signifie simultanément :  qu’il y a des relations intrinsèques entre le dessin et l’OGT. Ces relations viennent d’être rapidement explicitées ; elles vont être approfondies dans la suite.  que l’expert passe sans cesse d’un objet à l’autre. Là encore, nous aurons l’occasion de développer ultérieurement cet aspect.  Cette première approche met en évidence deux objets apparemment très tranchés. Mais c’est en fait un peu plus compliqué …
1.2. Un dessin … mais pas n’importe lequel !
Le dessin en effet n’est pas n’importe quel dessin. Celui qui nous intéresse est un dessin géométrique. C’est celui dont parle [Parzysz. 2004] dans sa description de G1 (nous reviendrons ultérieurement sur la définition de G1 / G2) : « G1 est une géométrie dans laquelle les objets physiques ont subi un début d'idéalisation, en ce sens que seules certaines caractéristiques des objets matériels sont retenues comme pertinentes (ainsi, la couleur des traits d'un tracé sur une feuille de papier ou un écran d'ordinateur, le matériau dans lequel est réalisée une maquette ne seront pas pris en compte). C'est-à-dire que le regard porté sur les objets les a déjà quelque peu abstraits et simplifiés par rapport au réel (maquette, tracé sur une feuille de papier, sur un écran d'ordinateur) » Ainsi, ce dessin géométrique n’est plus l’objet physique « brut », mais un objet qui a déjà subi par le sujet qui le regarde une transformation intellectuelle, une interprétation, pour en faire un dessin géométrique. Le lecteur peut en effet envisager ou non le dessin comme un objet géométrique : un « rond » représente-t-il un cercle ou un ballon ? Les premières difficultés
    
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apparaissent : interpréter transforme, et l’objet n’est plus alors tout à fait le même pour différents observateurs de cet objet. Je distinguerai plusieurs niveaux de regard sur ce dessin : Niveau 0: en amont du dessin géométrique, ledessinest l’objet physique sans interprétation particulière. On ne peut rien faire de cet objet dans la classe de mathématiques, si ce n’est le transformer mentalement pour passer au niveau suivant. Niveau 1: au niveau 1, le dessin devient l’objet géométrique, au sens des compléments au programme et instructions du 13 mai 1985 concernant la géométrie à l’école : « Le passage du monde des objets physiques à celui des objets géométriques est important et difficile ; il nécessite un effort d'abstraction (au sens de « enlever de »). Prenons l'exemple d'une boîte cubique : il faut en effet parvenir à ne pas tenir compte des inscriptions sur les faces, de la couleur de la boite, à substituer l'idée et le mot de « face » à l'idée et au mot « couvercle » : une boîte a un couvercle mais toutes les faces d'un cube sont identiques. » [IO 1985]. Il s’agit là du niveau décrit dans [Parzysz. 2004] précédemment cité, où il y a prise en compte des seules propriétés géométriques de l’objet. Les propriétés non géométriques sont facilement repérées comme telles par l’expert, mais cette abstraction nécessite un réel apprentissage en cycle 2, voire en cycle 3. Ce niveau nécessite par ailleurs bien sûr une action volontaire du lecteur comme l’expliquent Laborde et Capponi : « Un dessin renvoie aux objets théoriques de la géométrie dans la mesure où celui qui le lit décide de le faire ... Le contexte joue un rôle fondamental dans le choix du type d’interprétation. » [Laborde & Capponi. 1994, page 169]. Autrement dit, le dessin devient undessin géométriquepartir du moment ou le lecteur enà décide ainsi, en fonction du contexte6parce que ce dessin est sur le tableau de la, par exemple classe de mathématiques ou sur une page du manuel de mathématiques. La seule action du sujet envisagée dans ce niveau est de considérer le dessin comme géométrique, avant toute interprétation, tout raisonnement, toute déduction. Nous pouvons compléter ce point de vue sur le dessin par la typologie de traitement des figures de Duval. Dans ce niveau 1, intervient en effet forcément au moins « l’appréhension perceptive » des figures : « L’appréhension perceptive … permet d’iden tifier ou de reconnaître, immédiatement, une forme, ou un objet, soit dans le plan, soit dans l’espace. Cette identification d une                                                  6au sens courant du terme « Ensemble de circonstances qui accompagnent un événement, une action » (définition du dictionnaire de l’académie française, neuvième édition, version informatisée).
    
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forme en 2D ou 3D se fait en fonction de lois, dites « gestaltistes » d’organisation ou en fonction d’indicateurs intrafiguraux … par exemple des différences de taille ou d’orientation. » [Duval. 1994, page 123] Même si Duval parle ici de figure (il n’effectue pas la distinction dessin-figure) nous garderons le terme de dessin en ce sens que cette appréhension perceptive a bien lieu sur l’objet physique, la trace sur le papier, …, considéré comme dessin géométrique. Cette trace n’est pas n’importe quelle trace, mais une trace envisagée par le lecteur comme « géométrique ». Pour mettre en évidence l’importance de la perception dans ce niveau, je parlerai dans la suite de dessin « perçu » Niveau 2dessin passe, au niveau 2, d’un dessin géométrique seulement « perçu », à un: le dessin géométrique que le lecteur s’approprie. Il s’agit ici d’un objet géométrique sur lequel le lecteur effectue des interprétations, des actions. Je parlerai ainsi pour ce dessin de dessin géométrique « interprété ». Considérons l’intégralité de l’extrait précédent de Laborde et Capponi : « Un dessin renvoie aux objets théoriques de la géométrie dans la mesure où celui qui le lit décide de le faire, l’interprétation est évidemment dépendante de la théorie avec laquelle le lecteur choisit de lire le dessin ainsi que des connaissances de ce lecteur. Le contexte joue un rôle fondamental dans le choix du type d’interprétation. » [Laborde & Capponi. 1994, p. 169]. Ils insistent sur le fait que ce dessin va être interprété différemment en fonction des connaissances du sujet. Si la trace matérielle est la même pour tous, l’interprétation qui en est faite est différente pour chacun. Notons qu’ils utilisent les verbes « décider » et « choisir », mais que cette décision, ce choix, sont souvent inconscients chez le sujet. Nous pouvons compléter ce problème d’interprétation en reprenant la typologie de traitement possible des figures de Duval, chacun de ces traitements nourrissant l’interprétation. Duval met en évidence diverses formes d’appréhension : «L’appréhension opératoire l’appréhension d’une figure donnée en ses différentes est modifications possibles en d’autres figures. Nous avons distingué ailleurs trois grands types de modification : les modifications méréologiques consistant dans le p t ge d’ ar a une figure en parties pour les recombiner en une autre figure, les modifications optiques consistant dans l’agrandissement, la diminution ou la déformation de la figure, et les modifications positionnelles consistant soit dans le déplacement de la figure dans le plan
    
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soit dans le déplacement du plan de la figure par rapport au plan fronto-parallèle … L’appréhension discursive figure correspond à une explicitation des autres d’une propriétés mathématiques d’une figure que celles indiquées par la légende ou par les hypothèses. Cette explicitation est de nature déductive. La fonction épistémologique de l’appréhension discursive est la démonstration …L’appréhension séquentielle concerne l’ordre de construction d’une figure. » [Duval. 1994, pages 124, 126]
Il ne s’agit pas ici de développer les travaux de Duval, mais de mettre en évidence des actions possibles de l’individu sur le dessin géométrique, pour mieux définir ce que nous appelons dessin géométrique. Dans tous les cas, niveau 1 de regard « passif » ou niveau 2 de regard « actif » du dessin, nous considèrerons qu’il s’agit d’un dessin géométrique, alors que dans le niveau 0, il ne s’agit que d’un dessin. A ce stade de l’analyse, ce dessin géométrique peut être l’objet géométrique d’étude lui-même, ou un représentant de l’objet géométrique théorique étudié. Nous reviendrons évidemment sur cette distinction essentielle par la suite. Je peux alors enrichir le schéma précédent, où je conserve le terme de « réalité spatio-graphique » de Laborde et Capponi pour parler de cette trace sur le papier, envisagée d’un point de vue géométrique.
   
 
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dessin (niveau 0) Trace matérielle Perception de l’objet sur un support dessin géométrique «perçu » (niveau 1) Réalité spatio-graphique, objet géométrique ou rep ésentant d’un Interprétation de r OGT, perçu(e) l’objet
dessin géométrique «interprété » (niveau 2) Réalité spatio-graphique, objet géométrique ou représentant d’un OGT, interprété(e) 
objet géométrique théorique  Objet défini par une théorie géométrique  Objet idéal
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1.3. Le dessin représentant de l’objet géométrique théorique
  
Deux points de vue ont jusqu’ici coexisté dans mon analyse : le dessin géométrique objet du travail en lui-même, ou le dessin géométrique représentant d’un objet théorique géométrique. Parce que j’ai cité des auteurs experts en mathématiques, le point de vue le plus fréquent est que le dessin est une représentation de l’objet théorique sur lequel on travaille. En effet, dans la résolution d’un problème, le mathématicien raisonne, en général, sur l’objet théorique, au moins au moment où il rédige par exemple une démonstration, la phase heuristique pouvant bien entendu largement utiliser le dessin. C’est le point de vue exprimé dans divers extraits cités au paragraphe 1.1. Il est maintenant intéressant de pointer quelques spécificités de cette représentation. Les rapports entre l’OGT et sa représentation sont en effet complexes. [Capponi & Laborde. 1995] notamment envisage quelques aspects de cette complexité. 
1.3.1. Des interprétations multiples Tout d’abord, comme nous l’avons vu, la représentation est sujette 1 à des interprétations multiples. Même dans une lecture géométrique, l’interprétation dépend desconnaissances du1 lecteur. Le dessin ci-contre par exemple peut être interprété, dans un repère orthonormal du plan, comme un carré de sommets (01,),(0,1),( −0,1),(0,1) un élève de collège (dans le cas où il accepterait de ne pas par seulement le reconnaître comme losange, à cause de sa position), et comme une boule de centre(0, 0)et de rayon 1 pour une norme bien choisie par un étudiant de mathématiques en deuxième année à l’université. Cette interprétation dépend également ducontexte. Le même élève de cycle 3 considèrera la figure ci-contre comme un cercle ou comme un disque selon qu’il s’intéresse à son périmètre ou à son aire (pour ceux qui auront réussi à construire ces deux concepts, ce qui n’est pas toujours le cas en fin de cycle 3). Autrement dit, un même dessin peut renvoyer à des OGT différents.
 
    
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