Gérôme Taillandier: Le problème du transport parallèle

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LE PROBLÈME DU TRANSPORT PARALLÈLE 1 ƌƌŝǀĠ ă ů͛âge respectable qui est le mien, et qui est Ě͛ĂŝůůĞƵƌƐ ƚŽƵƚ ĐĞ ƋƵĞ ũ͛Ăŝ ĚĞ ƌĞƐƉĞĐƚĂďůĞ͕ ũĞ ƐƵŝƐ ŽďůŝŐĠ Ě͛ĂǀŽƵĞƌ ƋƵĞ ũĞ Ŷ͛Ăŝ ƚŽƵũŽƵƌƐ ƉĂƐ ĐŽŵƉƌŝƐ ĚĞ ŵĂŶŝğƌĞ ƐĂƚŝƐĨĂŝƐĂŶƚĞ ĐĞ ƋƵ͛ŝů ĨĂƵƚ ĞŶƚĞŶĚƌĞ ƉĂƌ ͨtransport parallèle ». Si la question était si facile, il n͛ĂƵƌĂŝƚ ĐĞƌƚĞƐ ƉĂƐ ĨĂůůƵ Levi-Cività et quelques autres pour la résoudre. Mais si vous lisez un cours de physique ou de math là-dessus, ũĞ ǀŽƵƐ ĚĠĨŝĞ ĚĞ ŵ͛ĞdžƉůŝƋƵĞƌ ĐĞ ƋƵĞ ǀŽƵƐ ĂǀĞnj ůƵ͘ KŶ ƐĞ contente en général de deux solutions : un petit dessin pour débŝůĞƐ ĚĂŶƐ ůĞƋƵĞů ŽŶ ǀŽƵƐ ŵŽŶƚƌĞ ƋƵ͛ƵŶ ǀĞĐƚĞƵƌ ne garde pas son orientation dans un espace courbe, ou alors, on vous colle une grosse tartine indigeste Ě͛ĠƋƵĂƚŝŽŶƐ ƚĞŶƐŽƌŝĞůůĞƐ ƉůƵƐ ŽƵ ŵŽŝŶƐ ĐŽǀĂƌŝĂŶƚĞƐ͕ ƋƵŝ sont supposées emporter votre adhésion, même si vŽƵƐ Ŷ͛LJ ĐŽŵƉƌĞŶĞnj ƌŝĞŶ͘ Je vous suggère à cet égard la présentation de Wikipaedia, qui est absolument inbittable. Heureusement, quelques braves garçons se sont un peu remué le cul pour tenter de porter remède à cette ƐŝƚƵĂƚŝŽŶ͘ :͛ĞŶ ĐŽŶŶĂŝƐ ĚĞƵdž: Manfredo Perdigaõ do Carmo [MPDC], dont le traité de géométrie riemannienne est superbe, et Dierck-Ekkehardt Liebscher, [DEL], à qui je dois de plus en plus de merveilles. Je ne saurais trop vous suggérer de lire son livre sur la géométrie du temps.
Publié le : mardi 28 juin 2016
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LE PROBLÈME DU TRANSPORT PARALLÈLE 1 AƌƌivĠ à l’âge respectable qui est le mien, et qui est d’ailleuƌs tout Đe Ƌue j’ai de ƌespeĐtaďle, je suis oďligĠ d’avoueƌ Ƌue je Ŷ’ai toujouƌs pas Đoŵpƌis de ŵaŶiğƌe satisfaisaŶte Đe Ƌu’il faut eŶteŶdƌe paƌ «transport parallèle ». Si la question était si facile, il n’auƌait Đeƌtes pas fallu Levi-Cività et quelques autres pour la résoudre. Mais si vous lisez un cours de physique ou de math là-dessus, je vous dĠfie de ŵ’edžpliƋueƌ Đe Ƌue vous avez lu. OŶ se contente en général de deux solutions : un petit dessin pour débiles daŶs leƋuel oŶ vous ŵoŶtƌe Ƌu’uŶ veĐteuƌ ne garde pas son orientation dans un espace courbe, ou alors, on vous colle une grosse tartine indigeste d’ĠƋuatioŶs teŶsoƌielles plus ou ŵoiŶs ĐovaƌiaŶtes, Ƌui sont supposées emporter votre adhésion, même si vous Ŷ’LJ ĐoŵpƌeŶez ƌieŶ.Je vous suggère à cet égard la présentation de Wikipaedia, qui est absolument inbittable.
Heureusement, quelques braves garçons se sont un peu remué le cul pour tenter de porter remède à cette situatioŶ. J’eŶ ĐoŶŶais deudž: Manfredo Perdigaõ do Carmo [MPDC], dont le traité de géométrie riemannienne est superbe, et Dierck-Ekkehardt Liebscher, [DEL], à qui je dois de plus en plus de merveilles. Je ne saurais trop vous suggérer de lire son livre sur la géométrie du temps.
Le problème dutransport parallèle paraît pourtant d’uŶe siŵpliĐitĠ eŶfaŶtiŶe. Suƌ votƌe taďle, vous avez votre stylo, vous décidez de le transporter parallèlement à lui-même : quoi de plus simple ? Il suffit de dire que vous lui avez appliqué un vecteur de translation et tout est dit.
Seulement, en faisant cela, vous avez appliqué un ième adžioŵe d’EuĐlide, le ϱ, qui énonce que par un point Ŷe passe Ƌu’uŶe seule paƌallğle à uŶe dƌoite. Supposez eŶ effet Ƌu’au poiŶt d’aƌƌivĠe du ĐeŶtƌe de gƌavitĠ de votre stylo, vous ayez une demi-douzaine de stylos différents! Il est Đlaiƌ Ƌue Đe Ŷ’est pas tƌğs euĐlidieŶ, et il est donc nécessaire de faire jouer Euclide pour garder votre table propre.
Que se passe-t-il alors si votre stylo, dont la pointe est sur une sphère, se déplace sur cette sphère en restant
« parallèle à soi-même » ? Apparemment rien de bien méchant, et vous arrivez aisément, en suivant une courbe fermée sur la sphère, à ramener votre stylo à sa position originale. Où est donc la difficulté ? En réalité, vous avez coŵŵis l’eƌƌeuƌ de tous les dĠďutaŶts, dont Votre Serviteur, qui consiste à traiter dans un espace à troiscelui dans lequel la sphère est dimensions, plongée, un problème qui est intrinsèque à la sphère à deuxdimensions! C’est là Ƌue la diffiĐultĠ ĐoŵŵeŶce : comment traiter de la géométrieintrinsèquela de sphère ? 2 LES COURBES AUTOPARALLÈLES Commençons par quelques remarques simples.
Vous savez Ƌu’il LJ a tƌois gĠoŵĠtƌies des suƌfaĐes, sphérique, de courbure positive, euclidienne de courbure nulle, et hyperbolique, de courbure négative. Vous verrez tout cela dans DEL, car je ne veux pas vous assommer avec une définition de la courbure.
Vous savez de plus que, en géométrie euclidienne, par uŶ poiŶt Ŷe passe Ƌu’uŶe seule paƌallğle à uŶe dƌoite,
aucune sur une sphère et une infinité mais bien définie, sur une surface hyperbolique comme un hyperboloïde de ƌĠvolutioŶ. Pouƌ des ƌaisoŶs d’iŶtuitioŶ, Ŷous Ŷous en tiendrons à la sphère.
Considérons alors une sphère et un ensemble de grands cercles passant par les pôles, des méridiens ; soit aloƌs uŶe Đouƌďe telle Ƌu’elle Đoupe les ŵĠƌidieŶs sous un angle constant : cette courbe est une loxodromie. Nous dirons simplementloxodrome, le i Ŷe s’iŵposaŶt pas.
CoŶsidĠƌoŶs deudž ŵĠƌidieŶs iŶfiŶiŵeŶt pƌoĐhes l’uŶ de l’autre, et la sécante constituée par une loxodrome en A et B. Si nous étions sur un plan euclidien, nous appliquerions notre théorème connu que les angles d’uŶesécante avec deux parallèles sont égaux, que ième nous pouvons tenir pour un équivalent du 5 postulat.
Si nous considérons un petit vecteur porté par cette sĠĐaŶte, Ŷous pouvoŶs ĐoŶstateƌ Ƌu’il se dĠplaĐe suƌ la sécante en suivant « le même angle », autrement dit Ƌu’il se dĠplaĐe paƌallğleŵeŶt à lui-même sur sa porteuse. Nous pourrions dire que cette sécante est «autoparallèle», comme le sont toutes les droites du plan euclidien.
Puisque la loxodrome a toujours le même angle avec les méridiens, nous pouvons alors constater que cette courbe est autoparallèle. Je vous laisse vérifier que ce Ŷ’estpas le cas de toutes les courbes définies sur la sphère. Maintenant, y-a-il d’autƌes Đouƌďes autopaƌallğles eŶ géométrie non-euclidienne ? Et à quoi peuvent-elles nous servir ? Nous alloŶs ĐoŶstateƌ Ƌu’il LJ a au ŵoiŶs uŶe autƌe soƌte de courbe autoparallèle, la géodésique. On appellegéodésique une courbe qui minimise le tƌajet eŶtƌe deudž poiŶts d’uŶe suƌfaĐe ;Ŷous laisseƌoŶs de ĐôtĠ l’espaĐe-temps de Minkowski). 3 LES GÉODÉSIQUES, COURBES AUTOPARALLÈLES
Vous avez ƌeŵaƌƋuĠ Ƌue daŶs tout Đela, Ŷous Ŷ’avoŶspas dit Đe Ƌu’il fallait eŶteŶdƌe paƌ «» etêtre parallèle Ƌue, de plus, Ŷous Ŷe voLJoŶs pas du tout l’iŶtĠƌġt de généraliser cette notion à des surfaces non-euclidiennes. Soyez tranquilles, ça va se corser !
Considérons deux méridiens et une courbe sécante qui sera par hypothèse une géodésique de la sphère, laquelle coupe les deux méridiens en A et B. Cette géodésique serait-elle, par hasard, une courbe autoparallèle? Considérons le segment AB de la géodésique (vous ƌeŵaƌƋueƌez Ƌue je Ŷ’ai pas paƌlĠ de droite ni de cercle !) Par définition, le segment géodésique AB minimise la distance AB. De plus, il définit deux angles  et ^B aveĐ les ŵĠƌidieŶs. SUPPOSONS Ƌu’il edžiste uŶ segŵeŶt gĠodĠsiƋue AB’ aveĐ B diffĠƌeŶt de B’ et tel Ƌue les aŶgles eŶ  et ^B’ so! Alors, il existeient égaux uŶ tƌiaŶgle ABB’que  + ^B + ( tel π-^B’Ϳ = π, si nous supposons que nous sommes sur une région infinitésimale tangente à la sphère. Le résultat est clair: il Ŷ’edžiste pas de poiŶt B’ ŵais les deux angles  et ^B sont égaux : si une géodésique Đoupe deudž ŵĠƌidieŶs, les deudž aŶgles de l’iŶteƌseĐtioŶ sont égaux sur une région infinitésimale tangente à la sphère.
De soƌte Ƌu’uŶ veĐteuƌ iŶfiŶitĠsiŵal taŶgeŶtà la sphère sur la géodésiquegaƌde la ŵġŵe diƌeĐtioŶ s’il se déplace selon la courbe elle-même.
Mais Đe Ŷ’est pas tout et Ŷous Ŷe soŵŵes pas au ďout de nos peines, à supposer que ce qui précède soit exact.
Nous allons inventer un instrument extraordinaire : un flux de droites parallèles, donc euclidiennes, venant de l’iŶfini, pour garantir que leur projection est bien non-divergente. Considérons alors lanappede ces droites qui se trouve tangente à la géodésique considérée. Pour un point doŶŶĠ de la gĠodĠsiƋue, uŶe dƌoite de l’iŶfiŶi passe eŶ ce point, et fait avec le vecteur tangent à la géodésique unangle défini, paƌ edžeŵple π/ϰ, pouƌ ƌepƌeŶdƌe l’edžeŵple de DEL.Hic Rhodos nunc salta : Nous dirons que le vecteur porté par la droite de l’iŶfiŶi et celui taŶgeŶt à la géodésiƋue soŶt « transportés parallèlement» si l’aŶgle de ces deux vecteurs est constant en tout point de la géodésique. Le veĐteuƌ de la dƌoite de l’iŶfiŶi est aloƌs dit « transporté parallèlement » sur la géodésique, on parlera detransport géodésique parallèle. La géodésique est aussi une courbe autoparallèle.
Nous avons bien mérité de nous reposer un peu, avant la suite ! 4 QUE SE PASSE-T-IL LORSQU’ON TOURNE? Salut les mecs ! On se fait un petit coup de géodésiques ? Nous avoŶs ĐoŶstatĠ Ƌu’il LJ a diveƌses soƌtes de courbes autoparallèles. Ce point est important, car les étudiants qui commencent la relativité générale ont tendance à croire que le caractère autoparallèle est une propriété caractéristique des géodésiques. Nous veŶoŶs de voiƌ Ƌue Đ’est faudž.MaiŶteŶaŶt, les gĠodĠsiƋues, Đ’est ďieŶjoli, mais on ne va tout de même pas passer notre vie sur des géodésiques ? Ce serait à peu près aussi excitant que de passeƌ sa vie suƌ l’autoƌoute Paƌis-Marseille et retour. Il faut donc en sortir, et passer sur un échangeur pour aller, par exemple, sur une autre géodésique ! Mais que se passe-t-il alors, si le changement est brutal et ŵġŵe uŶ peu siŶgulieƌ, geŶƌe, soŵŵet d’uŶ
triangle? UŶ soŵŵet de tƌiaŶgle Ŷ’est pas uŶ eŶdƌoit très fréquentable. On ne le dit pas aux enfants des écoles pour ne pas leur enseigner de mauvaises manières, mais si vous essayez de dériver au sommet d’uŶ tƌiaŶgle, vous allez avoiƌ de ŵauvaises suƌpƌises!
Nous allons fermer les yeux pour cette fois sur une horrible infraction, et nous allons appliquer la tactique du gendarme : nous prendrons un angle par exemple de π/2 sur la sphère, pour tourner brutalement sur une autre géodésique. Essayez un peu de faire la même chose en bagnole !
Puisque le transport géodésique sur la G1, notre pƌeŵiğƌe gĠodĠsiƋue, Ŷ’a pas iŶduit de ŵodifiĐation d’aŶgles,-Đ’est le ďut de la ŵaŶœuvƌe-, il Ŷ’eŶ iŶduit pas non plus sur la G2, sur laquelle nous venons de tourner. Maisentre les deux, un angle de π/2 est à ajouteƌ au ďilaŶ de l’affaiƌe, et vous feƌez la ŵġŵe chose chaque fois que vous tournez ! C’est aiŶsi Ƌue DEL vous montrera que le triangle sphérique a une somme des angles supĠƌieuƌes à π, et égale à la somme des angles de moments où vous avez tourné. Autrement dit, le transport parallèle géodésique a l’iŵŵeŶse avaŶtage de suppƌiŵeƌ les vaƌiatioŶs d’aŶgle durant le transport, et de donner la somme des angles
dûs au déplacement par ce qui se passe au moment où vous changez de direction. Vous trouverez plein d’autƌes fiŶesses Đhez DEL, ŵais je Ŷe vais pas vous gâcher le plaisir ! 5 PETITS PLAISIRS A VENIR Vous pouvez vous aŵuseƌ à dĠplaĐeƌ daŶs l’espaĐe banal un objet mécanique quelconque, et le ramener à sa position initiale. Vous pensez alors que si vous faites un tour, cela suffit à le ramener à sa position. Si vous commencez à utiliser le transport parallèle géodésique ou non, vous allez avoir de grosses surprises. Vous constaterezƋu’uŶ touƌ Ŷe suffit pas pouƌ ƌaŵeŶeƌ uŶ oďjet à sa plaĐe, et Ƌu’il eŶ faut 2! Vous verrez cela avecl’aŶgle de phase de BeƌƌLJ, qui est une conséquence de tout cela. Mais si vous poursuivez, vous ne serez pas trop étonné de retrouver les effets de ce transport parallèle dans la corde de Dirac, et dans lacondition de quantisation de Dirac, qui en est la suite. Et puis eŶ ĐheƌĐhaŶt ďieŶ il Ŷ’est pas à edžĐluƌe que vous tƌouviez toutes soƌtes d’oďjets edžotiƋues daŶs la physique, liés à ce transport parallèle : des
instantons, des monopoles, des trous de ver, et dieu sait Ƌuoi d’autƌe. Vous Ŷ’avez ŵġŵe pas idĠe de la jungle qui vous attend avec impatience pour vous manger !! 6 UNCOUP D’ŒIL SUR LE MONDE TERRIFIANTDU TRANSPORT PARALLÈLE Considérons par souci de simplicité une sphère et une courbe continue (pas une géodésique !) sur cette sphère. Nous admettrons que nous pouvons définir en chaque point de la courbe un plan tangent à la sphère, que nous pouvons faire glisser le long de la courbe. Cela nous permet de définir des tangentes en tout point de la sphère, ce qui est très utile ! Ces tangentes sont bien sûr définies sur chaque plan tangent, et vous voyez bienƋu’il edžiste daŶs ĐhaƋue plaŶ uŶeinfinitéde telles tangentes en ce point !Ce détail est capital. Pour faire savant, car nous avons consulté le livre de Do Carmo, nous appellerons cela uneconnection affine.
Oubliez cela.
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