Gérôme Taillandier: Loi de Poisson, croissance exponentielle, pic de Hubbert, recueil

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LOI DE POISSON, « CROISSANCE EXPONENTIELLE », PIC DE HUBBERT ET PHÉNOMÈNES SOCIONATURELS Gérôme Taillandier LES AVATARS DE LA CROISSANCE EXPONENTIELLE GERÔME TAILLANDIER >͛ġƚƌĞ ŚƵŵĂŝŶ ĂLJĂŶƚ ŝŶǀĞŶƚĠ ů͛ĞdžƉƌĞƐƐŝŽŶ: « ŝĞƵ Ă ŝŶǀĞŶƚĠ ů͛ŚŽŵŵĞ ă ƐŽŶ ŝŵĂŐĞ», ne doutant pas un instant que Dieu ne hurle pas de rire à cette vision, -ů͛ġƚƌĞ ŚƵŵĂŝŶ͕ ĚŝƐ-je, a inventé récemment une autre expression : la croissance exponentielle,cenƐĠĞ ƉƌŽǀŽƋƵĞƌ ů͛extase devant les bienfaits de ů͛Ăƌƚ Ğƚ ĚĞ ů͛ŝŶĚƵƐƚƌŝĞ ĚĞƉƵŝƐ ĚĞƵdž ƐŝğĐůĞƐ͘ >Ğ ͨ» étant apparemment laréchauffement climatique réponse de Dieu aux fumées du sacrifice, mériƚĞ ƋƵĞ ů͛ŽŶ ƌĞŐĂƌĚĞ Ě͛ƵŶ ƉĞƵ ƉůƵƐ ƉƌğƐ ƵŶĞ ĐŽƵƌďĞ ĚĞ Gauss. On a alors dans ce voisinage une approximation de la fameuse croissance exponentielle : Siů͛ŽŶ ĐŽŶƐŝĚğƌĞ ƋƵĞ ĐĞƚƚĞ ĨŽŶĐƚŝŽŶ Ă ƉŽƵƌ ǀĂƌŝĂďůĞ ůĞ ƚĞŵƉƐ͕ ǀŽLJŽŶƐ ĐĞ ƋƵŝ ƐĞ ƉĂƐƐĞ ĂƵ ǀŽŝƐŝŶĂŐĞ ĚĞ t=1. Æ Y =exp (-t^2)soit approximexp ((-o-)^2 = exp(- ^2)1 . On a alors dans ce voisinage une approximation de la fameuse croissance exponentielle: ce ƉŚĠŶŽŵğŶĞ ĂƉƉĂƌĂŠƚ ůŽƌƐƋƵ͛ƵŶ ƉƌŽĐĞƐƐƵƐ ĨŽŶĐƚŝŽŶ ĚƵ ƚĞŵƉƐ ĚĠĐŽůůĞ ĚĞ ů͛ĂdžĞ ĚĞƐ ĂďƐĐŝƐƐĞƐet provoque l͛qui en sont les acteurs.émerveillement des êtres * Toutefois, que se passe-t-il au voisinage de t=o ?
Publié le : mercredi 11 novembre 2015
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LOI DE POISSON, « CROISSANCE EXPONENTIELLE », PIC DE HUBBERT ET PHÉNOMÈNES SOCIO-NATURELS
Gérôme Taillandier
LES AVATARS DE LA CROISSANCE EXPONENTIELLE
GERÔME TAILLANDIER
L’ġtƌe huŵaiŶ aLJaŶt iŶveŶtĠ l’edžpƌessioŶ: «Dieu a iŶveŶtĠ l’hoŵŵe à soŶ iŵage», ne doutant pas un instant que Dieu ne hurle pas de rire à cette vision, -l’ġtƌe huŵaiŶ, dis-je, a inventé récemment une autre expression : la croissance exponentielle, censĠe pƌovoƋueƌ l’extase devant les bienfaits de l’aƌt et de l’iŶdustƌie depuis deudž siğĐles. Le «» étant apparemment laréchauffement climatique réponse de Dieu aux fumées du sacrifice, mérite Ƌue l’oŶ ƌegaƌde d’uŶ peu plus pƌğs uŶe Đouƌďe de Gauss.
On a alors dans ce voisinage une approximation de la fameuse croissance exponentielle :
Sil’oŶ ĐoŶsidğƌe Ƌue Đette foŶĐtioŶ a pouƌ vaƌiaďle le teŵps, voLJoŶs Đe Ƌui se passe au voisiŶage det=1.
Y = exp (-t^2) soit approxim exp ((-o- )^2 = exp (- ^2) 1 .
On a alors dans ce voisinage une approximation de la fameuse croissance exponentielle : ce phĠŶoŵğŶe appaƌaît loƌsƋu’uŶ pƌoĐessus foŶĐtioŶ du teŵps dĠĐolle de l’adže des aďsĐisseset provoque lqui en sont les acteurs.émerveillement des êtres
*
Toutefois, que se passe-t-il au voisinage de t=o ?
Y = exp (-t^2) approx exp [(-o-
^2] = exp (- ^2) 1 :
La courbe arrête doucement de croître et le système considéré ralentit : la ĐƌoissaŶĐe s’aƌƌġte.
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On sait que la diminution des gains de productivité (nombre de dollars nécessaires pour extraire un ďaƌil de pĠtƌole) sigŶe l’appƌoĐhe de Đette situatioŶ. OŶ pouƌƌait se ĐoŶsoleƌ si la situatioŶ Ŷ’Ġvoluait pas, ŵais Đe Ŷ’est pas le Đas. OŶ a dĠŵoŶtƌĠ Ƌue l’edžtƌaĐtioŶ de pĠtƌole est vouĠe à dĠĐliŶeƌ Đoŵŵe celle des autres matières premières selon une gaussienne de variable temporelle. Ainsi après avoir stagné un certain temps au voisinage du maximum à t=o, le phénomène considéré entame une dĠĐƌoissaŶĐe Ƌui, au voisiŶage de l’uŶitĠ, devieŶt tout aussi edžpoŶeŶtielle Ƌue sa ĐoŶsœuƌà gauche, ŵais Đette fois l’edžpoŶeŶtielle est dĠĐƌoissaŶte!
L’ABOMINABLE EXPONENTIELLEDU COMTE DRACULA EnfeƌŵĠ daŶs soŶ doŶjoŶ le Đoŵte DƌaĐula s’adoŶŶait à la joie des exponentielles, dont il communiquait par corbeau les résultats à son ami le baron Napier, entre deux sorties nocturnes destinées à reconstituer ses forces dĠfaillaŶtes. Il vit aiŶsi Ƌue, si l’oŶ ĐoŶsidğƌe la Đouƌďe de PoissoŶ Đoŵŵe uŶe loi qui permet de définir le nombre de pièces défectueuses dans un échantillon, il devait se résoudre à entiƌeƌ les thĠoƌğŵes Ƌue l’huŵaŶitĠattendait avec impatience.
ALJaŶt eŶteŶdu paƌleƌ d’uŶ tƌuĐ ĠtƌaŶge doŶt oŶ lui avait dit uŶ soiƌ Ƌue quelques uns de ses cousins de ce côté-Đi de la toŵďe ŵuƌŵuƌaieŶt et Ƌu’ils appelaientégalité, le comte, ému de ces étranges disĐouƌs Ƌu’un groupe d’illuminés de la bonne société propageait en sous main dans des écrits venus de Hollande,le Đoŵte voulut eŶ avoiƌ le Đœuƌ Ŷet.
Ayant appris par un de ces illuminés guillotiné que la statistique enseignait que les revenus dans la société nouvelle se répartissaient selon cette fameuse Loi de Poisson, il entreprit de se demander à quoi pourrait bien ressembler une soĐiĠtĠ d’« égaux », comme se nommait lui-même un autre illuminé tout uniment raccourci.
Il constata alors que la convolution de la loi de Poisson tendait vers une courbe de Gauss, et Ƌue Đe Ƌu’oŶ pouvait ĐƌaiŶdƌe de piƌe daŶs uŶ ƌĠgiŵe d’Ġgaudž était que les revenus fussent distribués selon cette dernière courbe. Ainsi, les riches resteraient-ils riches, et les pauvres seraient encore beaucoup plus Ŷoŵďƌeudž Ƌu’aupaƌavaŶt, ŵais de ŵaŶiğƌe pluségale.
Amusé par ce résultat, le comte se rencarda mieux sur ces lois issues des travaux de son ami Napier, et, paƌtaŶt de l’idĠe Ƌuel’exponentielle décroissanteest une courbe de zéro défaut, il en conclut que la désintégration radioactive était lecomble de la perfectiondans la nature. Seules les matières radioactives étaient parfaites.
UŶ ĐƌaŶ au dessous, oŶ pouvait ŵesuƌeƌ les dĠfauts de l’espğĐe huŵaiŶe gƌâĐe au lambda de la fonction de Poisson de leurs revenus, le nombre de défaut pour 100 étant égal à lambda.
PouƌsuivaŶt sa ƌĠfledžioŶ, il vit aloƌs Ƌue, si l’espğĐe huŵaiŶe paƌveŶait à s’Ġgaliseƌ seloŶ uŶe loi gaussieŶŶe, son nombre de défauts serait égal au modede la fonction de Gauss, soit 50 %.Découragé par cette découverte, le comte referma son manuscrit sur les edžpoŶeŶtielles et s’haďilla pouƌ soƌtiƌ eŶ ville veƌs la ŵiŶuit.
SUR LE LAMBDA D’UNE COURBE DE POISSON
Nous savoŶs Ƌu’uŶe ĠpidĠŵie de gƌippe pƌĠseŶte uŶe ĠvolutioŶ temporelle en courbe de Poisson. Il peut être utile de définir le laŵďda de Đette Đouƌďe. Soit aloƌs à la fiŶ de l’ĠpidĠŵie, le Ŷoŵďƌe de personnes infectées, il représente un certain pourcentage de la populatioŶ totale ĐoŶsidĠƌĠe Ƌue l’oŶ suppose isolĠe. Le laŵďda de cette épidémie est alors la valeur absolue de ce pourcentage. Cette ƌeŵaƌƋue vise à d’autƌes appliĐatioŶs ĐoŶĐeƌŶaŶt l’iŶteƌpƌĠtatioŶ des oƌďitales atoŵiƋues et à dĠfiŶiƌ la pƌoďaďilitĠ de pƌĠseŶĐe d’uŶ électron dans une orbitale en termes de courbe de Poisson.
Prolongeons un instant ces remarques.
Plutôt Ƌue de ĐoŶsidĠƌeƌ la Đouƌďe d’uŶe ĠpidĠŵie viƌale Đoŵŵe uŶe affeĐtioŶ d’uŶe espğĐeconsidérons plutôt que cette courbe victime, ƌepƌĠseŶte les ĐapaĐitĠs de pƌopagatioŶ d’uŶe espğĐe suƌ uŶ suppoƌt favorable. Alors, la courbe épidémique devient la courbe de propagation de cette espèce, et cette courbe doit être interprétée soit temporelleŵeŶt soit seloŶ d’autres paramètres. On conçoit que la Đouƌďe de pƌopagatioŶ de l’espğĐe huŵaiŶe est uŶe Đouƌďe de Poisson temporelle.
Qu’est-ce qui fait que cette courbe pourrait ne pas décroître après son maximum ? Si,à l’instarde la gƌippe, l’espğĐehumaine ne mutait pas, il est Đlaiƌ Ƌu’elle serait condamnée à une extinction progressive. Ce Ŷ’est Ƌue gƌâĐe à d’ĠveŶtuelles ŵutatioŶsd’hoŵo sapieŶssapiensque cette courbe a une chance de commencer une nouvelle croissance.
Tout iŶdiƋue doŶĐ Ƌue l’espğce humaine suit une courbe de Poisson temporelle et que le mode de cette courbe devrait être atteint vers 2150.D’oƌes et dĠjàle ralentissement de la croissance démographique dans les pays « développés » montre que le début d’iŶveƌsioŶ de teŶdaŶĐe se Đaƌactérise par un vieillissement de la populatioŶ, Ƌui Ŷ’est Ƌue le dĠďut du pƌoĐessus.
Mais si Ŷous laissoŶs de ĐôtĠ les pƌoďlğŵes de l’espğĐe huŵaiŶe somme toute peu intéressante, nous devons nous demander par quel mécanisme une espèce virale supposée non mutante arrive à dĠĐƌoîtƌe. C’est eŶ soŵŵe uŶ vĠƌitaďle ŵLJstğƌe Ƌue seuleune petite paƌtie d’uŶe populatioŶ gloďale soit atteiŶte paƌ uŶe ĠpidĠŵie, et oŶ se demande comment trouver les facteurs de la décroissance. Etant donné que la courbe de Poisson représente aussi bien le nombre de piğĐes ƌatĠes daŶs uŶe pƌoduĐtioŶ d’usiŶe, oŶ doit se deŵaŶdeƌ Ƌuel
est le faĐteuƌ ĐoŵŵuŶ à Đes deudž doŶŶĠes. Il est pƌoďaďle Ƌue l’oŶ auƌait iŶtĠƌġt à dĠfiŶiƌ la loi de pƌopagatioŶ d’uŶeépidémie en termes de fonctions de corrélation et à définir la distance de ĐoƌƌĠlatioŶ de deudž ĠlĠŵeŶts d’uŶ eŶseŵďle souŵis à uŶe ĠpidĠŵie.
POISSON LAW AS INFECTIOUS DISEASE EPIDEMICAL LAW IN FRENCH
Nous savons que la loi de Poisson décrit la progression temporelle des infections épidémiques monofocales. Lorsque ce nest pas le cas, comme à Marseille au cours del’épidémie de peste, cest simplement parce que les données ont été dissimulées à la population pour dissimuler les causes exactes de la propagation, due à lirresponsabilité des autorités en place face aux procédures de quarantaine concernant un navire faisant escale.
Nous allons créer un modèle ultra simplifié permettant de rendre compte de la phase décroissante de lépidémie. Considérons que la propagation dun virus ou dune bactérie est la même que celle de la colonisation dune boîte de Pétri par un organisme de cette sorte. Les humains naiment pas se considérer comme le support alimentaire dune boîte de Pétri, ce qui est pourtant le cas. Il faut préciser quun modèle plus exact consisterait à envisager la colonisation dun même milieu par deux populations distinctes, bactérie et virus par exemple, comme on le fait à lHôpital de Tbilissi lorsquon sélectionne les souches de bactériophages destinées à lutter contre une infection. Notre modèle sera plus simple.
Soit donc un virus se reproduisant par générations supposées isochrones afin déviter les complications liées à la dispersion temporelles de sa croissance, qui est peut-être gaussienne.
Supposons que, surnpersonnes infectées, seules 50% développent la croissance virale permettant la reproduction du virus. (Ce nombre est arbitraire et donne une idée de la question). On pense en effet, au cours des infections épidémiques, que seules les personnes malades sont infectées, ce qui est bien sûr faux, seule une petite fraction des infectés devenant malades.
Si ce schéma est exact, alors à la génération suivante, seuls 50% des infectés deviendront un propagateur de linfection, etc. Il en résulte quelépidémie est décroissante, et donne lapproximation exponentielle décroissante de la courbe de Poisson.
Autrement dit, ladécroissanceépidémique nes’explique pas par les malades mais par lesinfectés porteurs sains, qui donnent la clef de la forme exponentielle de cette décroissance. Les questions de la partie croissante de la courbe de Poisson et de sa phase de décélération seront étudiées plus tard.
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