17/7/2006 - CAPES Externe de Mathématiques 2006 Épreuve sur ...
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17/7/2006 - CAPES Externe de Mathématiques 2006 Épreuve sur ...

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Langue Français

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CAPES Externe de Mathématiques 2006
Thème : Fonctions Etude du comportement local
Épreuve sur dossier
1. L’exercice proposé au candidat cosx On considère la fonctionfdéfinie sur[0, π]parf(x) = e. On noteCfsa courbe représentative dans un repère(, O, ı )du plan. Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de tangentes àCfpassant par l’origineO du repère. 1) a) Déterminer l’équation de la tangenteTaàCfau point d’abscisseade[0, π]. b) Montrer queTapasse parOsi et seulement siasina= 1. 1 2) Soit la fonctionψdéfinie sur]0, π]parψ(x) = sinx. x a) Étudier les variations deψsur]0, π]. b) En déduire que la fonctionψadmet un maximum absoluMqu’elle atteint en un uniquex0de l’intervalle]0, π]. ³ ´ π π c) Calculerψpar rapport àet en déduire la position de x0. 2 2 ³ ´ π d) Calculerψet en déduire le signe deM. 2 3) À l’aide des questions précédentes, déterminer le nombre de tangentes àCfqui passent parO.
2. Le travail demandé au candidat En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celleci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le Jury
Pendant sa préparation, le candidat traitera les questions suivantes : Q.1) Dégager les outils et les méthodes nécessaires à la résolution de cet exercice. Q.l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchée des coordonnées des points2) A où la tangente à la courbeCfpasse parO. TracerCfet les tangentes en question.
Sur ses fiches, le candidat rédigera et présentera : – Sa réponse à la questionQ.1). – Un ou deux énoncés d’exercices se rapportant au thème« Fonctions ».
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