AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Y j ALGÉBRE LINÉAIRE 1 – 14 ...

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AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Y j ALGÉBRE LINÉAIRE 1 – 14 ...

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• mathématiques
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AGRÈGATION INTERNE DE MATHÈMATIQUES Y jALGÈBRE LINÈAIRE 1 – 14 JUIN 2008.j Y

1.SÉlection pour la sÉance du 14 juin 10 Exercice 1.SoientE 1 , E 2 deux sous-espaces deRvÉrifiant E 1 ⊂E 2 ,dim R E 1 = 3,dim R E 2 = 6. 10 DÉterminer la dimension du sous espaceEdeL(R)dÉfinit par   10 E=T∈L(R) :T(E 1 )⊂E 1 &T(E 2 )⊂E 2 . 3 Exercice 2.SoientA, B, C∈M 2 (R). Montrer qu’il existe(a, b, c)∈R\ {(0,0,0)} tel queaA+bB+cCpossÈde une valeur propre double. Exercice 3.(tout hyperplan rencontreGL n (C)). Soitn≥2. 1)(preuve 1)– Montrer que si un hyperplanHdeM n (C)contient toutes les matrices nilpotentes, alors il contient une matrice inversible. – Montrer que dansM n (C), tout hyperplan rencontreGL n (C). 2)(preuve 2)– Montrer que l’application qui áA∈M n (K) (K=RouC) associef A :M n (K)3M7→f A (M) =Tr(AM)Établit un isomorphisme entre M n (K)et son dual. 0 – Soitf∈M n (K)une forme linÉaire surM n (K)vÉrifiant f(XY) =f(Y X),∀X, Y∈M n (K). Montrer qu’il existeλ∈Ktel que pour toute matriceX∈M n (K),f(X) =λTr(X). – Montrer que pour toutn≥2, tout hyperplan deM n (K)rencontreGL n (K). Exercice 4.Montrer que deux matrices rÉelles semblables dansM n (C)le sont dans M n (R). 4 2 Exercice 5.SoitA∈M 3 (R)vÉrifiantA=Aet{−1,+1} ⊂sp(A). Montrer queAest diagonalisable dansM 3 (R). 3 2 Exercice 6.SoitA∈GL 6 (R)vÉrifiantA−3A+ 2A= 0 &Tr(A) = 8. Calculer le polynÔme caractÉristique deA. Exercice 7.(Matrices dansM n (Z)). ? n12 1) SoitA∈M 2 (Z), S’il existen∈Ntel queA=I 2 montrer queA=I 2 . 2) SoitA∈M n (Z), montrer queA∈GL n (Z)si et seulement sidet(A) =±1. n 3) â quelle condition un vecteur deZest-il la premiÈre colonne d’une matrice A∈GL n (Z)? Exercice 8.SoitP∈C[x], un polynÔme non constant. L’objectif est de dÉterminer les points isolÉs deE:={A∈M n (C) :P(A) = 0} 1) SoitA∈E, montrer qu’il existe une voisinageVde l’origine dansM n (C) −1 tel que(I n +H)A(I n +H) =Apour toutH∈V. 2) Side plusAest isolÉe, montrer queAM=M Apour toute matriceM∈ M n (C), en dÉduire queA=λI n , λ∈C. 1