Algèbre Anneaux - Corps

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• Publié par: eqaloxoq
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Extrait

Algèbre Anneaux  Corps

∗ Denis Vekemans

Exercice 1Soit(A,+,0 A )un groupe abélien. On munit l’ensembleAd’une autre loi binaire∙, en posanta∙b= 0 A , pour touta, b∈A. Montrer que(A,+,∙)est un anneau commutatif.

Exercice 2Soit

2Z={2ztels quez∈Z}.

Montrer que(2Z,+,∙)est un anneau commutatif.

Exercice 3(Mars 2004) Soit(R,+,∙)l’anneau des nombres réels. L NL 2 On définit deux nouvelles loiset surRde la manière suivante :∀(x, y)∈R, on posex y= N x+y−2etx y=x∙y−2x−2y+ 6. L 1. Montrerque(R,)est un groupe abélien. L N 2. Montrerque(R, ,)est un anneau commutatif unitaire.

Exercice 4 On pose

et

On considère le produit cartésienZ×Z={(a, b)tels quea∈Z, b∈Z}.

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(a, b)◦(c, d) = (a∙c, a∙d+b∙c)

pour tout(a, b),(c, d)∈Z×Z. Montrer que(Z×Z,+,◦)est un anneau commutatif. L’anneau(Z×Z,+,◦)?estil unitaire

Exercice 5Soit(A,+,∙)un anneau commutatif. Notons0et1respectivement le neutre pour+et pour∙. SoitPune partie deAtelle que ∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

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