Compléments de Mathématiques et d'Algorithmique Probl`eme ...

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Compléments de Mathématiques et d'Algorithmique Probl`eme ...

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UniversiteBordeauxI Master Informatique – Semestre 1 – INF 301 Session de rattrapage Complements de Mathematiques et d’Algorithmique Responsable:AlexandreZvonkine;tousdocumentsautorises 15 juin 2005, 14h00 – 17h00 Baremeenvisage:(1+1+1)+(2+2+3)+(1+2+3)+(1+3+4)

Probleme : Inversion des matrices de Vandermonde Rappel.La matrice de Vandermonde est une matricennde la forme   2 n1
1x 0 x 0

x 0 2 n1 1x 1 x


x 1 1 2 n1 1x 2 x


x V= 2 2   . .   . .. . . 2 n1 1x


x n1 x n1 n1 oux 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n1 sndeous,elesrrebmonsedtnosouex,spmelseocmorb deselementsd’uncorpsni(parexempledesrestesmodulounppremier). L’objectifduproblemeestdetrouverdesformulesquidonnent,sous 1 forme explicite, la matrice inverseV.

Question 1.vaennoloc-ruetcesntmeeelsleectunvSoia 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n1 . Montrer que si on multiplie ce vecteur par la matrice de Vandermonde, on obtientunvecteur-colonnedontleselementssontlesvaleursdupolynˆome

2n1 P=P(x) =a 0 +a 1 x+a 2 x+. . .+a n1 x

dans les pointsx 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n1 .

1 Question 2.Que fait la matrice inverseVsi elle existe?

Question 3.Montrer que si tous les pointsx 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n1 sont dis- 1 tincts, alors la matrice inverseVexiste. [Indication:QuelleestlavaleurdudeterminantdetV?]

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