Cor2 - UNIVERSITÉ d'ORLÉANS SCL1 MA02 Département de mathématiques ...

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• Publié par: ojurarop
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Extrait

´ ´ UNIVERSITE d’ORLEANS De´partementdemathe´matiques

SCL1 MA02 2008-9

Arithm´etique:Corrige´feuille2:r´evisionsdelaToussaint. (Rappels: pasde cours-td la semaine du 3 au 7 novembre 2008). Devoir sur table la semaine suivante.

Exercice 1.(1) Utilisezl’algorithme d’Euclide pour trouver un couple (x, y) d’entiers relatifs tels que (E 1 ) : 89x+ 41yOn a= 1. 89 = 2×41 = 541 + 7;×7 + 6;7 = 1×6 + 1. ainsipgcd(89,41) = 1 et 1 = 7−6 = 7−(41−5×7) = 7−41 + 5×7 = 6×7−41 = 6×(89−2×41)−41 = 6×89−13×41. (Onve´rifieratoujourssurunbrouilloncettedernie`re´equation6×89−13×41 = 1). Ainsix= 6 ety=−13 conviennent. (1’)Mˆemequestionavec(E 2 ) : 59x+ 27y= 1.On a 59 = 2×27 = 527 + 5;×5 + 2;5 = 2×2 + 1.D’o`upgcd(59,27) = 1 et 1 = 5−2×2 = 5−2×(27−5×5) = 11×5−2×27 = 11×(59−2×27)−2×27 = 11×59−24×27. ainsix= 11 ety=−tnenneivnoc42ouaterifierv´On.(nurbuoliojrussrulon cettederni`eree´quation11×59−24×27 = 1). (2)Trouvertouslescouplessolutionsdel’e´quation(E 1 qeaule´’(itnouisd)pE 2 ). Onsuitlam´ethodeducours: Pour (E 1 ) : Onaobtenuunesolutionparticuli`erex 0 = 6 ety 0 =−nteencre´eiffrdPa.31er l’e´quationsatisfaiteparlasolutionge´ne´ralecherch´eeetl’´equationsatisfaitepar lasolutionparticuli`ere,onobtient 89(x−x 0 ) + 41(y−y 0 ) = 1−1 = 0 ainsi 89(x−x 0 ) =−41(y−y 0 ) = 41(y 0 −y) (α). D’ou`89divise41(y 0 −ysait que 89 et 41 sont premiers entre eux (Pgcd). On =1).Parleth´eor`emedeGauss,89divisey 0 −yexistei.e. ilk∈Ztqy 0 −y= 89k i.e.y=y 0 −89ktiudor.eintOnr´ydqe´’lsna(ontiuaα), 89(x−x 0 ) = 41(y 0 −y) = 41×89k. On simplifie par 89 et on obtient,x−x 0 = 41kqui donne. Cex=x 0 + 41k. Les solutions si elles existent sont donc parmi les couples (x, y) = (6 + 41k,−13− 89k`u)ok∈Z.esIlactfesopnoie)dev´erifierquesli(ete´nceseasrix= 6+ 41k ety=−13−89kpour n’importe quelk∈Zrsl’ealoation´8e9qufi´xx+ 41y= 1 est toujours satisfaite.Ce qui signifie qu’on a exactement toutes les solutions 1