Cours de Probabilités (Maˆıtrise de Mathématiques de l'ULP)

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Cours de Probabilités (Maˆıtrise de Mathématiques de l'ULP)

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CoursdeProbabilite´s (MaıˆtrisedeMathe´matiquesdel’U.L.P.)

J. FRANCHI

Deuxi`emesemestre2004-2005.56heures,dontlamoitie´enT.D.

Contenu

I. Vecteurs Gaussiens 1)Vecteursale´atoires 2)Variablesre´ellesgaussiennes(rappels) 3) Variables gaussiennes vectorielles II. Marches aleatoires surZ d ´ 1)Marchesal´eatoiresettempsd’arrˆet 2) Temps de retour en 0 3)R´ecurrencedesmarchesale´atoiressimples 4)R´ecurrencedesautresmarchesale´atoires 5) Retour en 0 et loi de l’Arcsinus pour la marche simple surZ III.ChaıˆnesdeMarkov 1)Laproprie´t´edeMarkov 2)Classificationdes´etats 3)Mesuresinvariantesdeschaıˆnesfinies 4)Probabilit´einvariante 5)Ergodicit´e IV.Martingalesa`tempsdiscret 1)Surmartingales,sousmartingales,th´eore`med’arrˆet 2)Ine´galites ´ 3) Convergence V. Processus de Poisson 1)ProcessusdePoissonhomoge`nesendimension1 2) Autres processus de Poisson VI. Files d’attente 1)Files`aunserveur 2) FilesG p /G q /1 3) FilesG p /F S /1

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1 Vecteurs Gaussiens 1.1Vecteursale´atoires Onappellevecteurale´atoiretoutev.a.a`valeursdansIR d . On dit qu’il est dansL p lorsque sa norme l’est (pour toutp∈[1,∞]). Exercice n o ´ira1V)eualefiqrnitid´efi-desoncie´densusdsapdnepmeoranele.sioich1.1. e b)Montrerqu’unvecteurale´atoireestdansL p leelquteormp’ised(nansroodnne´ssisesco . base) sont dansL p On´etendparlin´earite´lade´finitiondel’esp´erancepourlesvariablesr´eellesint´egrables auxvecteursale´atoiresinte´grables.Ainsi,dansn’importequellebase,l’esp´eranced’un vecteural´eatoireinte´grableVerancesdslesesp´seanayurteecevtlesee´nnodroocruopt coordonne´esdeV. D´efinition1naOcirtcedeleppamele´larueteriotaaicnvoraedid(euosionspernvec)d’u Vdeir´arecabgr´enteli(e.d.nasL 2 ) la matriceK V :=IE  (V−IE(V))× t (V−IE(V))  , ou`lesvecteurssontconsid´ere´scommedescolonneset t Ve´edpssortnaneleesigd´V. Exercice n o euire´qrefi1.1.)V2aK V =IE(V× t V)−IE(V)× t IE(V) = ((Cov(V i , V j ))) i,j . b)Ve´rifierquepourtoutu∈IR d on aV ar( t uV) = t uK V u= P 1≤i,j≤d u i u j Cov(V i , V j ) . c) Montrer queK V sitive.cisemye´rtqieuopesnetutrma d) Montrer queK V est inversible ssi il n’existe pas d’hyperplan deIR d contenant p.s.V. e) SoitMune matrice deM n,d (IR). CalculerIE(M V) etK M V uqemeˆM.opnoitseruAV, siAest une application affine deIR d dansIR n .

1.2Variablesre´ellesgaussiennes(rappels) De´finition2usgaensicener´nt´reeiudeuoetUnetedisteelleer´reiotae´laelbairav normalecentr´eer´eduiteougaussiennestandardlorsqu’elleadmetladensit´e: t−→7exp(−t 2 /2)/ √ 2πrerlleee´laiotaeU.enbaelavirXest dite gaussienne ou normale ´ lorsqu’il existem∈IRetσ >0tels que(X−m)/σenecalrmnoitso.enOudtiree´rte´dit alors que la loi deXestN(m, σ 2 ). Exercice n o a1V).1.2rqfieri´euem=IE(X) etσ 2 =V ar(X et que) ,X∈ ∩ p<∞ L p . b)V´erifierque (A A 2 2 e + −x 1 2 ) / x 2 ≤ R x ∞ e −t 2 / e −x 2 /2 sur [A 2 dt≤ x ,∞[ , pour toutA > un0. Donner ´equivalentdeIP(X > x) en +∞. c)Montrerqueladensit´edeXestt−7→exp(−(t−m) 2 /2σ 2 )/σ √ 2π. d)Montrerquelatransform´eedeFourierdeXstepee´nnodraIE(e itX ) =e itm−σ 2 t 2 /2 , et 2

quecelacaract´eriselaloideX. e)Montrerquetoutecombinaisonline´aire(nontriviale)dev.a.normalesind´ependantes estnormale.Donneruncontrexemplesimples’iln’yapasind´ependance. Exercice n o 1.2.2 Notons{X n |n∈IN ∗ }edet.a.vni.rpe´ddaenesntusgaensiensunesui n standard. Etudier la convergence en loi de X 1 +(n−1) √ X 2 +..+X n . n n

1.3 Variables gaussiennes vectorielles D´efinition3Unarevotaeerilbai´laeVssdanleur`avaIR d est dite gaussienne ou normale lorsque pour toutu∈IR d t uV ou p.s. constante.est une v.a.r. normale On noteN(m, K)laloid’unvecteurceanneissuagre´pse’dmet de matrice de covariance Kl.aol(ierpslleestlalorsqu’eissuenneidtsagetitns)e´e.uspdenebabieproe(relit´.nU densite´)d’unvecteurgaussien. Exercice n o isqreurifie)V´e3.1a1.Vest un vecteur gaussien deIR d et siAest une application affine deIR d dansIR n , alorsAVest un vecteur gaussien. b) Montrer que siVansneesdonn´oordeluqleroeti’pmsevnutetceagrusius,aenrsloscse base sont gaussiennes (ou p.s. constantes). c) SoientXgaussienne standard, etεndpeteani´endedXet uniforme sur±1. Montrer queεXest gaussiennne standard, mais que le vecteur (X, εX) n’est pas gaussien. d)Montrerquesilevecteurale´atoireV,setnadneped´inetesnniessausescoordonn´eesga alors il est gaussien. e)Montrerquelatransforme´edeFourierd’unvecteurgaussienVradonn´eepest IE(e i t uV ) = exp  i t uIE(V)− 1 2 t uK V u   tout, pouru∈IR d race´tcauqtelle’.oiiserales, f)Montrerquelescoordonn´ees(danslabasecanoniquedeIR d ) d’un vecteur gaussien sontind´ependantesssilamatricedecovarianceestdiagonale,etdoncssiellessontnon corre´le´es.Ve´rifierquec’estfauxsilevecteurn’estpasgaussien(meˆmesisescoordonne´es sont gaussiennes).

Lemme 1SoitKunetaofmr,eedivitosepqurietm´ysellee´recirtamd×det de rang r∈ {0, .., d}. Alors 1)Ilexisteunematricere´ellesym´etriquepositiveSde formatd×dtelle queK=S 2 . 2)Ilexisteunematricer´eelleMde formatd×ret de rangrtelle queK=M× t M. Preuve Il existe une matrice orthogonalePet une matrice diagonale positiveDtelles queK=P DP −1 .S:=P √ DP −1  les vecteurs Permutantfournit une solution pour 1). propres deKhogonalec,vireuieqhaact`enamedregntroecirtP,onsera`mneaecusa`ou lesrpremiers coefficients diagonaux deDsont>stΔesirslo.Alsnusertuaselte0ele´ag a`lamatriceform´eedesrpremnnoledsere`iocse √ Dustatˆsi,ooinvtouqeM:=PΔ est solution de 2) :K ij = P k d =0 p ik d k p jk = P k r =0 p ik √ d k p jk √ d k = (M t M) ij .

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Celemmepermetd’exhiberunvecteurgaussienayantuneespe´ranceetunematricede covariancedonne´esa`l’avance.Ler´esultatpr´ecisestlesuivant. Proposition 1SoitKllee´recirtamenuposiique´etresymtroamd,feitevd×det de rangr, et soitMrecilee´enurtamatledeformd×rtelle queK=M× t M. Soitm∈IR d . SoitVun vecteur deIR r lorsseA.adtnpeneni´danstrddaiessesnnee´nuagsoocenodrform´ed m+M Vest un vecteur gaussien de loiN(m, K).

Corollaire 1Si la matrice de covariance d’un vecteur gaussiend-dimensionnel de loi N(m, K)rusetlmeadurt´sienadlarolb,eceetcsveesersitinvIR d : v→−7(2π) −d/2 (det K) −1/2 exp  − 1 2 t (v−m)K −1 (v−m)  .

Preuve SoitVun vecteur deIR d ddnrafoe´nnodroocede´mrtassneensiusgaes inde´pendantes.SoitMmatruneericel´edelermfotad×dtelle queK=M× t M. Alors Minversible, et nous avons pour toute fonction-testest f, par changement de variable : IE(f(m+M V)) = Z f(m+M x) Y d (2π) −1/2 e −x 2 j /2 dx −d/2 e − t xx/2 dx IR d j=1 = Z IR d f(m+M x) (2π) = Z IR d f(v) (2π) −d/2 e − t (M −1 (v−m))×(M −1 (v−m))/2 |det(M −1 )|dv 1 = Z IR d f(v) (2π) −d/2 (det K) −1/2 exp  − 2 t (v−m)K −1 (v−m)  dv . Exercice n o 1.3.2 SoitVun vecteur gaussiend-dimensionnel, et pour 1≤j≤ksoientM j unematricer´eelledeformatd j ×detV j :=M j V que. MontrerV i etV j dne´noitsantspend ssiM i K V t M j rensila0=e´G.epd´daen`aerinl’cndeeV 1 , .., V k . ´ Exercice n o 1.3.3 Soit{X j |j∈IN ∗ }une suite de v.a.i.i.d.N(0,1). Soit{a j |j∈IN} unesuitedere´elstelsquea j a j+1 = 0 pour toutjet tels que P j a 2 j <∞. SoitY n := P n j=1 a n−j X j , pour toutn∈IN ∗ . a) Etudier la convergence en loi de la suiteY n  Les. b) v.a.Y n etY n+1 sont-elles independantes ? c) Etudier la convergence dansL 2 de la suiteY n . ´ Exercice n o 1.3.4 SoitV:= (V 0 , ..V d ) un vecteur gaussien (d dont les+ 1)-dimensionnel, coordonnees sontN(0,irefivte´1e)nt:Cov(V 0 , V j ) =ppour 1≤j≤detCov(V i , V j ) =p 2 ´ pour 1≤i6=j≤d,pe`ma.ertosoPsnet´tuanarnpW j := (1−p 2 ) −1/2 (V j −pV 0 ) pour 1≤j≤d.´D(:ltnemeviedsiolsenemieretssceucrsV 0 , W 1 , .., W d ) ;S:= P d j=1 V j ;S/V 0 . ¯ Exercice n o 1.3.5 Soit{X j |1≤j≤n}une suite de v.a.r.i.i.d.N(m, σ 2 ). SoientX:= ¯ ¯ (X 1 +..+X n )/n,X 0 j :=X j −X, etS:= ((X 0 1 ) 2 +..+ (X 0 n ) 2 )/σ 2 idelaloP.resice´rX, ¯ ¯ de (X, X 0 1 , .., X n 0  montrer que) ,XetSntrerquelaloidestione´dndnepetnaoM.sSest unχ 2  une b.o.n.. (UtiliserBde l’hyperplan P j x 0 j unene´ee´lteocpmn.deb.o.0,=IR n .) Voicilaversionvectorielleduth´eor`emelimitecentral. 4