Cours sur la Trigonométrie pour troisième

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• Publié par: Oliv94
• Publié le: 22 octobre 2013
• Nombre de lectures: 334
• Langue: Français
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Extrait

CHAPITRE 4
COURS:TRIGONOMÉTRIE
Extraitduprogrammedelaclassedetroisième:
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Triangle rectangle : rela- Connaîtreetutiliserdansletriangle La définition du cosinus a été vue
tionstrigonométriques rectangle les relations entre le co- en quatrième. Le sinus et la tan-
sinus, le sinus ou la tangente d’un gente d’un angle aigu seront intro-
angle aigu et les longueurs de deux duitscommerapportsdelongueurs
côtésdutriangle. ou à partir du quart de cercle tri-
Utiliserlacalculatricepourdétermi- gonométrique. On établira les for-
nerdesvaleursapprochées: mules:
2 2 sinxcos x+sin x=1 et tanx= .– du sinus, du cosinus et de la tan- cosx
On n’utilisera pas d’autre unité quegented’unangleaigudonné
ledegrédécimal.
– del’angleaigudontonconnaîtle
sinus,lecosinusoulatangente
1 Relationstrigonométriques
?Définition: Soit ABC untrianglerectangleen A;onnoteraαbl’angle ACB.Alorsona:
Côtéadjacent AC Côtéopposé AB Côtéopposé AB
cosαb= = sinαb= = tanαb= =
Hypoténuse BC Hypoténuse BC Côtéadjacent AC
Illustration:
A
Côtéopposéàαb
B
Côtéadjacentàαb
Hypoténuse αb
C
ème3 Page1/4 CoursTrigonométrie
bbb2 Pourquoifaire?...
2.1 ...Pourcalculerdeslongueurs
Lorsque, dansun trianglerectangle, on connaît la longueurd’un des côtés ainsi que lamesure de l’un
desanglesaigus,onpeutcalculerleslongueursdesdeuxautrescôtés.
◦Parexemple,supposonsquedansletriangleABC rectangleen A,onait AB=12cmetαb=30 .Alorson
peutcalculerlalongueurducôté[AC]enutilisantlaformuledelatangente:
AB
tanαb=
AC
d’où
AB 12
AC= = ≃20.8cm
◦tanαb tan30
Demêmeonpeutcalculerlalongueurducôté[BC],soitenutilisantlethéorémedePythagore,soiten
utilisantlaformuledusinus:
AB
sinαb=
BC
d’où
AB 12
BC= = =24cm
◦sinαb sin30
2.2 ...Pourcalculerdesmesuresd’angles
Lorsque,dansuntrianglerectangle,onconnaîtlalongueurdedeuxdescôtés,onpeutcalculerlesme-
suresdesdeuxanglesaigusdutriangle.
Parexemple, supposons que dans le triangle ABC rectangle en A, on ait AB = 12cm et AC = 16cm.
?Alorsonpeutcalculerlamesuredel’angle ACB enutilisantlaformuledelatangente:
AB 12
?tanACB= = =0,75
AC 16
−1tan
d’où,àl’aidedelacalculatriceetdesatouche tan ,
◦?ACB≃36,9
Comme les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure
?approchéedel’angle ABC par:
◦ ◦? ?ABC=90 −ACB≃90−36,9=53,1
ème3 Page2/4 CoursTrigonométrie3 Formulestrigonométriques
Propriétén°1: Soitx lamesure,endegrés,d’unangleaiguαbquelconque.
Alorsona,pourtoutevaleurdex :
0<cosx<1 et 0<sinx<1
Preuve:
Celaprovientdufaitque,dansuntrianglerectangle,l’hypoténuseestlecôtélepluslong:suppo-
?sonsquex soitlamesureendegrésd’unangleαb= ACB dansuntriangle ABC rectangleen A(voir
figurepage1).
AC
Onaalorscosx=cosαb= avec AC<BC (car[BC]estl’hypoténuse),etdoncilvientcosx<1.
BC
Deplus,comme AC etBC sontdeslongueurs,ona AC>0etBC>0;
AC
parconséquentcosx=cosαb= >0
BC
Propriétén°2: Soitx lamesure,endegrés,d’unangleaiguαbquelconque.
Alorsona,pourtoutevaleurdex :
2 2cos x+sin x=1
Remarques:
2 2 2? On écrit cos x pour (cosx) , et ceci dans le but d’éviter toute confusion avec cosx , dans le cas où
l’onoublieraitd’écrirelesparenthèses...
? Cetteformulepeutpermettred’obtenirlesinusd’un angleaigu lorsquel’on connaîtson cosinus, et
vice-versa.
Preuve:
?Supposonsque x soitlamesureendegrésd’unangleαb= ACB dansuntriangle ABC rectangleen
A(voirfigurepage1).
AC AB
Onaalorscosx=cosαb= etsinx=sinαb= .
BC BC
Ainsionpeutécrireque
µ ¶ µ ¶2 2 2 2 2 2AC AB AC AB AC +AB2 2cos x+sin x= + = + =
2 2 2BC BC BC BC BC
2 2 2Or,letriangle ABC étantrectangleen A,lethéorèmedePythagorenousditque AB +AC =BC .
Onpeutdoncconclure:
2 2 2AC +AB BC2 2cos x+sin x= = =1
2 2BC BC
Propriétén°3: Soitx lamesure,endegrés,d’unangleaiguαbquelconque.
Alorsona,pourtoutevaleurdex :
sinx
tanx=
cosx
Preuve:
?Supposonsque x soitlamesureendegrésd’unangleαb= ACB dansuntriangle ABC rectangleen
A(voirfigurepage1).
AC AB
Onaalorscosx=cosαb= etsinx=sinαb= .
BC BC
Ainsionpeutécrireque
AB
sinx AB BC AB BC ABBC
= = × = × = =tanx
ACcosx BC AC BC AC AC
BC
ème3 Page3/4 CoursTrigonométrie4 Maisquiabienpuinventertoutça,etpourquoi?
Celuiquel’onpeutconsidérercommelepèrehistoriquedelatrigonométrie(tri-
gonos=triangle,etmetron=mesureengrec)estsansdouteHIPPARQUEDENI-
CEE,brillantastronomegrecdel’antiquité(nédansl’actuelleTurquieau IIème
siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (don-
nant des valeurs de ce que l’on appelle aujourd’hui des sinus d’angles), et qui
s’enservitpourrecenserlespositionsexactesdeplusde1000étoilesaumoyende
l’unedesesinventions,l’astrolabe(quipermetdemesurerlahauteurdesastres
sur l’horizon). Ces mesures d’angles permirent l’essor de la navigation, qui né-
cessitedeconnaîtreprécisémentlapositiondesétoilessurlavoûtecéleste.IlestHipparquedeNicée
à noter que c’est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés,
-190/-120
empruntéeauxBabyloniens,toujoursd’actualitéaujourd’hui.
PTOLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et com-
plétal’oeuvred’HIPPARQUE,notammentdansunouvragedemeurécélèbre,in-
titulél’Almageste, traité complet d’astronomie, compilant le savoir scientifique
des Grecs de l’antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques
extrêmementprécises.
Ptolémée
90/168
Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout
Arabes entre le VIème et le Xème siècle; citons notamment le mathématicien
indien ARYABHATA, mais surtout les mathématiciens arabes AL KHWARIZMI
et AL WAFA ("inventeur" de la tangente) à Bagdad. AL KHWARIZMI est un im-
mense mathématicien, né dans l’actuel Ouzbékistan au IXème siècle, et consi-
déré comme le père de l’algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son
oeuvre majeure, intituléeKitabal-MukhtasarfiHisabal-Jabrw’al-Muqàbala,
traitantdelarésolutiondeséquations)
AlKhwarizmi
780/850
L’astronome et mathématicien allemandREGIOMONTANUS, au XVème siècle,
est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. Après avoir pris
connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie
commebrancheàpartentièredesmathématiques(aujourd’huiondiraitmême
"pilier"desmathématiques!),indépendantedel’astronomie,dansuntraitéfon-
dateurintituléDetriangulisplanisetsphericilibriquinque,unacumtabulisi-
nuus,publiédefaçonposthumeen1561. Regiomontanus
1436/1476
Les applicationsactuelles de la trigonométriesont nombreuses et fondamentales: les fonctions sinus
etcosinussontcertainementcelleslesplusrencontréesdanslessciences!Enastronomie(depuisl’An-
tiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alter-
natif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hert-
ziennes?),enmécanique,etc...
ème3 Page4/4 CoursTrigonométrieCHAPITRE 4
FICHE D’EXERCICES: TRIGONOMÉTRIE
QUOTIDIENNE
EXERCICE1 Unpanneauroutier
Le panneau routier représenté ci-contre avertit le conducteur d’une
descentedangereuseenannonçantunedéclivitéde10%.
1. D’aprèsvous,quesignifieconcrètementcepanneau?
2. Onalasituationsuivante:
100m
10m
αb
a) Combienvautl’angleαb?
b) Sachantqueladescenteestlonguede3700mètres,quellesera
ladénivellationtotale?
EXERCICE2 Lethéodolite
L’instrumentreprésentéci-contre,utiliséentopographie,estunthéodolite;c’est
unappareilposésuruntrépiedquelegéomètreexpertutilisepourmesurerdes
anglesetdesdistancessurunterrain,uneparcelle.
L’opérateurpeututilisercetappareilpourmesurerl’altituded’unpointdonné;parexemple,onasché-
matisélasituationsuivante,oùO estl’emplacementdel’oeildel’observateur(lunetteduthéodolite):
On connaît l’altitude du point A : la distance HA vaut 1,85 m.
bLethéodolitepermetdemesurerlesmesuresdesanglesαbetβ:B
◦ ◦bonaainsiαb=12 etβ=37 .
...... ......b1. Compléter:tanαb= ettanβ=
...... ......
AH BH
2. Démontrerquel’ona =bA β btanαb tanβ
αbH O 3. EndéduirelavaleurdeBH.
4. CombienvautladistanceOH ?
ème3 Page1