Éléments d'analyse et d'alg`ebre

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Éléments d'analyse et d'alg`ebre

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• Publié par: ywijabiv
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• Langue: Français

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´ El´ementsd’analyseetd’alg`ebre

1.Pr´esentationducours Ils’agitd’uncoursg´ene´ralistedontlebutestmultiple: •fournir des outils et des concepts utilisables dans les autres sciences, •le´igracodeepncesrlleoca’ppeusllrqestusrerl´epaetpruyercselruopniarretedersou (1) secondeann´ee, •qriteleutamsme´hirfaenesnuceloeltcoidnteatiquesnesontpas,see´tcesrieoh´neonecd´ ´etabliesdetoute´eternite´,maisqu’ellesconstituentunesciencebienvivanter´egieparunepro- fondeunite´. Lesth´eoriesaborde´esdanslecourss’articulentautourdesdeuxth`emes“transformationde Fourier” et “fonctions holomorphes”. La transformation de Fourier, de par ses diverses incarna- tions,estuneexcellenteillustrationdel’unite´desmath´ematiques,etlecoursessayedesouligner lacontinuit´eexistantentrelefini(th´eoriedescaracte`resdesgroupesfinis),lediscret(s´eries 1 m deFourier)etlecontinu(tranforme´edeFourierdansL(Rutnoilitee´sa`,s.C))thesor´essie desdegr´esdivers,danstouteslesautressciences,cequipeutˆetreunemotivationsuffisante pouressayerd’encomprendrelestenantsetlesaboutissants,meˆmesionn’apasl’ˆamed’un math´ematicienetpasletempsnil’envied’ensaisirtouteslesfinesses.Ellesposs`edentaussi unebeaute´intrinse`que,auniveaudese´nonce´setdesm´ethodes,quidevraits´eduirequiconque veutbienfairel’effortdepasserlabarrie`redesd´efinitionsinitiales.Deplus,ellessecombinent harmonieusementpouraboutira`desr´esultatsproprementmagnifiques. Lath´eoriedescaract`eresdesgroupesfinis,`alaquelleled´ebutducoursestconsacr´e,quiest objectivementlaplusfacile,estprobablementcellequivousde´routeraleplus,compte-tenude votre formation. Elle permet d’illustrer un certain nombre de concepts fondamentaux dont on nepeutquede´plorerladisparitionduprogrammedesclassesante´rieures:lesgroupessontfaits pouragiretlessym´etriesd’unsyste`meformentungroupedontilestbondecomprendrel’action pour´etudierlesyste`me(ceprincipedesym´etrieesta`labased’unepartienonne´gligeabledela physiquethe´oriquemoderne).Celapermetaussidesensibiliserauxprobl`emesdeclassification enmathe´matiques:ilestpossibleded´ecrirecomple`tementlesrepr´esentationsirre´ductiblesd’un groupefinidonne´,cequiestunpetitpeusurprenantauvudelad´efinition,maispre´sentedes similarite´scertaines(pastotalementfortuitescommevousleconstaterezpeut-eˆtreplustard) aveclaclassificationpe´riodiquedes´el´ementsenchimieoucelledesparticulese´l´ementairesen physique.

(1) Lepeudethe´oriedesgroupesfinisvudanslecoursrendlecoursdeth´eoriedeGaloisaccessible`an’importe 2 qui,etlesrudimentsdetransform´eedeFourierpr´eparentleterrainpourlestransforme´esdeFourierdansLet danslesdistributions,quisontlesdeuxcaslesplusutilespourlesapplicationsextramathe´matiques.J’enprofite poursoulignerl’existence,ende´butdesecondeann´ee,ducoursdeMAT432,dontleprogramme(Espacesde 2 Hilbert,transform´eedeFourierdansL,etapplicationsauxe´quationsdelaphysique)ae´te´spe´cialementconc¸u pourles´ele`vesissusdelafili`erePC.

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