Examen n 2 (Mathématiques 2) - SM Calcul de distances entre une ...

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Examen n 2 (Mathématiques 2) - SM Calcul de distances entre une ...

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• Publié par: abubidur
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• Langue: Français

Extrait

IPEI TUNIS

Ann´eeUniversitaire2003-2004

◦ Examenn2(Mathe´matiques2)- SM Calcul de distances entre une matrice et certaines parties de M n (R) Notations Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note: M n (R) : laR−ciseamrtdesee`rbllesr´ee´eescarrerdro’dlgan. M n,1 (R) : leR−aetloericsemvdaecrsipates`cenilsenga`tecenuolonne. t Pour une matriceAdeM n (R),Aeee´sopstatamtsesantrceriT r(A) sa trace. I n tie´ecnuedatri:lamM n (R). S n (Rldiemaesveceorctsuosapseel:)esde´mteiruqrtciseysM n (R). A n (Resictrmaesldieortcevecapsesuosel):deuqseteirys´mnaitM n (R). + S(R) : l’ensemble des matrices positives deS n (Resc’)ir-d`at-rtamsedeseciAdeS n (R) n t v´erifiant:pourtoutematriceX∈ M n,1 (R), XAX≥0. GL n (R) : le groupe des matrices inversibles deM n (R). O n (Rtamsedepuorgel:)rtsoleel´esrceriscse’ts`-ohoganelsmatricea-diredeMdeM n (R) t ve´rifiant:M M=I n . Pourpentier naturel, Δ p est l’ensemble des matrices deM n (Rus´pargnruuoreei)de ´egala`p. La partie I. denalsseaptreislequiserautilis´ttiarenuepmex II. et III. I.Exercicepr´eliminaire   1 2 1 t   1. Soitla matrice Γ = −2−1−1 de M 3 (R),on poseH= ΓΓ. −1−1−2 Diagonaliser la matriceHerunematr´iecteerminedtPdeO 3 (R) et une matrice diag- 2−1 onaleDstmespou`eratelleeuqstisotsfiD=P HP. − 1 + 2. OnposeS=P DP∈ S(R),montrer que la relation Γ =U Senamrtcieutinfie´d 3 U∈ O 3 (R) et calculer cette matrice II.Calculdeladistance`a S n (R) a`te A n (R) t 3. SoitAetBdeux matrices deM n (R),on pose (A|B) =T r(AB). Montrerquel’ond´efinitainsiunproduitscalairesurM n (R). 1 Lanormeassocie´ea`ceproduitscalaire(norme de Schur´ee:tnot)eskAk= ((A|A)). 2 Dans tout le sujet, si Π est une partie non vide deM n (R),la distance d’une matriceA deM n (Rr´lestΠeleea`)eitrapald(A,Π) =infkA−Mk. M∈Π 4. MontrerqueM n (R) =S n (R)⊕ A n (R) et que cette somme directe est orthogonale. 1 t 5. SiAest une matrice deM n (R),montrer qued(A,S n (R()) =A−A)erenie´dtmret  2 demˆemed(A,A n (R)). 1

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