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EXEMPLES D'ÉTUDE DE LA CONVERGENCE DE SÉRIES NUMÉRIQUES
Exercice 1
Soient et deux réels.
1
Le but de cet exercice est l'étude des séries u où u = . (Séries de Bertrand)n n
n (lnn)n 2
1+
1) Étude du cas > 1. On pose = .
2
1
Démontrer : u = On
n
En déduire la nature de la série de Bertrand dans ce cas.
2) Étude du cas < 1.
B
Démontrer : B , N , n , (n N u )n+
n
En déduire la nature de la série de Bertrand dans ce cas.
3) Étude du cas = 1.
1
a) On considère l'application ƒ : t sur ]1 ; + [.
t(ln t)
Démontrer : n , ƒ décroissante sur [n , + [0 0
b) On suppose = 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la série de Bertrand diverge.
c) On suppose > 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la série de Bertrand converge.
d) Étudier le cas < 1.
Commentaire :
Cet exercice classique traite des séries de Bertrand. Il a l'avantage, d'utiliser diverses méthodes pour étudier une
série (comparaison, avec une série de Riemann, comparaison avec une intégrale)
Exercice 2
n
1( )
Soient et u la suite définie sur par : u = .n+
n +1
1. Montrer que la série de terme général u est convergente et que :n
1 dt
u = (Utilisation du TSCSA et des séries géométriques)n
0 1+ tn=0
n n n( 1) ( 1) ( 1) 1
2. En déduire : = ln 2 = = ln 2 +
n +1 2n +1 4 3n +1 3 3n=0 n=0 n=0
Commentaire : cet exercice a pour but l'étude d'une série alternée. Grâce à une expression de sa somme, on
retrouve quelques résultats classiques.
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Exercice 3
Soit ]0, 2 [.
ine
1. Montrer que la série est convergente. (Séries à termes complexes - Utilisation de la règle d'Abel)
n
n 1
2. Étudier de deux manières différentes la limite de la suite I ( ) définie par :( )n n
n
ikt
I ( ) = e dt (Utilisation du lemme de Lebesgue)n
k=1
in
e cos(n ) sin(n )
3. En déduire les valeurs de , et .
n n n
n =1 n =1 n=1
Commentaire : cet exercice a pour but l'étude d'une série à termes complexes. On utilise la règle d'Abel.
Exercice 4
Démontrer les équivalents suivants :
n
1
~ ln n
+k
k =1
n 1n1
~ pour 0 < 1
+ 1k
k =1
+
1 1
~ pour > 1
1+k ( 1)n
k =n+1
Commentaire : deux méthodes possibles, soit comparer à une intégrale, soit utiliser des séries télescopiques.
Exercice 5
Démontrer la règle de Raabe-Duhamel :
Soit (u ) une suite de nombres réels strictement positifs telle que :n n
u 1n+1 ( , ) ]1 ; + [ tels que : = 1 + O+
u n nn
1. Si 1 alors la série u diverge.n
2. Si > 1 alors la série u converge.n
2 4 ... (2n)
Application : étude de la convergence de la série de terme général : u = n
3 5 ... (2n +1)
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p
p
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˛
Exercice 6 Formule de Stirling
n21) Pour tout entier naturel n, on pose I = cos t dt . (Intégrales de Wallis)n
0
a) Calculer explicitement I et I .2p 2p+1
I In+1 nb) Démontrer que la suite (I ) est décroissante. En déduire : n , 1 .n n
I In+2 n+2
c) Démontrer que : I ~ I .n n+1
+
d) Démontrer que la suite ((n + 1)I I ) est constante. En déduire : I ~ .n n+1 n n
+ 2n
n
n! e *2) On considère la suite (u ) définie par : u = pour n .n n
nn
*a) On pose v = ln(u ), pour n . En étudiant v v , démontrer que la série de terme général vn n n+1 n n
converge. En déduire que la suite (u ) converge vers une certaine limite .n
b) À l'aide de la question 1)d), démontrer que : = 2 .
n
n
c) En déduire la formule de Stirling : n ! ~ 2 n
+ e
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EXEMPLES D'ÉTUDE DE SÉRIES NUMÉRIQUES : SOLUTIONS
Exercice 1
1
21) On a, pour tout n 2 : n u = n (ln n)n
1
12Or, lim n (ln n) = 0 puisque < 0. C'est à dire :
n + 2
, N , n , (n N n u )n+
En particulier pour = 1 :
1
N , n , (n N u )n
n
1
Comme > 1, la série de terme général converge.
n
Du test de comparaison des séries à termes positifs, on déduit la convergence de la série de terme général u .n
1
Remarque : dans le cas où est positif, du fait de la décroissance de l'application t sur , on peut+
t
faire le raisonnement plus rapide suivant :
1 1
On a, pour tout n 2 : n u = n
(ln n) (ln 2)
1 M
En posant M = : u n
(ln 2) n
1
Or, la série de Riemann de terme général converge (car > 1).
n
Du test de comparaison des séries à termes positifs, on déduit la convergence de la série de terme général u .n
Conclusion : la série de Bertrand converge.
1n
2) On a, pour tout n 2 : n u = n
(ln n)
1
n
Or, 1 > 0, donc : lim = +
n + (ln n)
Par conséquent, il existe M et N tels que+
n , n N n u Mn
M
C'est-à-dire : n N u n
n
1
Or, la série de Riemann de terme général diverge (série harmonique).
n
Du test de comparaison des séries à termes positifs, on déduit la divergence de la série de terme général u .n
Conclusion : la série de Bertrand diverge.
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1
3) a) Étudions le sens de variation de l'application ƒ : t sur ]1, + [ :
t(ln t)
1(ln t) + (ln t) ln t +
ƒ est dérivable et ƒ (t) = =
2 2 2 +1
t (ln t) t (ln t)
On a : ƒ (t) 0 ln t + 0 t e
Par conséquent, ƒ est décroissante sur ]e , + [.
Posons n = max(3, E(e ) + 2).0
Ainsi, ƒ est décroissante sur [n 1, + [.0
Et pour tout n n :0
n+1 n11 1
dt dt
n n 1t(lnt) n(ln n) t(ln t)
D'où, par sommation, pour n allant de n à N :0
NN +1 N1 1 1
dt dt
n n 10 t(ln t) n(lnn) 0 t(ln t)n=n0
u u
Par changement de variable u = ln t (et donc t = e , dt = e du) dans les intégrales :
Nln(N +1) ln(N )1 1 1
du du ( )
ln(n ) ln(n 1)0 u n(lnn) 0 un=n0
Nous pouvons maintenant répondre aux questions b), c) et d) :
b) = 1. Dans ce cas, on obtient :
N
1
ln(ln(N + 1)) ln(ln(n )) ln(ln(N)) ln(ln(n 1))0 0
n(lnn)n=n0
Or, la suite (v ) définie par v = ln(ln(n + 1)) ln(ln(n )) diverge.n n 0
Il en va donc de même de la série de Bertrand.
c) > 1. Dans ce cas, on obtient :
ln( N )N
1 1
1n(lnn) (1 )un=n ln(n 1)0 0
N
1 1 1 1
1 11n(lnn) (ln(n 1)) (ln(N))0n=n0
1
Or, comme > 1, tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini.
1(ln(N ))
Les sommes partielles sont donc majorées donc la série de Bertrand converge.
d) < 1. Dans ce cas, on peut procéder comme ci-dessus en utilisant l'autre inégalité de ( ) pour prouver
que les sommes partielles divergent. Mais il y a plus simple !
1 1
n(ln n) n ln n
Et d'après le cas = 1, la série de Bertrand diverge.
Exemples d'étude de la convergence de séries numériques Page 5 G. COSTANTINI