Feuille 12 - PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille ...

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Feuille 12 - PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille ...

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PCSI A 2009-2010

Mathématiques

Feuille d’exercices 12 : es.ynômloP

Généralités. Arithmétique dansK[X]. Racines.

Lycée Brizeux

Exercice 1.Effectuer la division euclidienne de : 4 2 32 1.2X−5X+ 2X+ 2X−4parX+X−3. 6 23 2.T+T−1parT−1. 2 1 7 5 32 5 3.3Y−Y+Y+Y+ 3Y−1parY+Y+ 1. 3 3 5 32 3 4.2X+ 3X+ 2X+aXpar2X+X+aaveca∈K. 4 3 22 22 5.X+X+X+iX+iX+iparX+i, (i=−1). 2 32 Solutions :Qdésigne le quotient etRle reste.1.Q=X+X−3etR=X−1. 2.Q=T+ 1etR=T. 3. 2 22 Q= 3Y−1etR=Y. 4.Q=X+ 1etR=X−a. 5.Q=X+X+ 1etR= 0.

3 2 Exercice 2.Effectuer la division euclidienne deA=X+pX+qparB=X+ 1puis déterminer pour quelles valeurs depetqle polynômeBdivise le le polynômeA.

Exercice 3.Soitmetndes entiers strictement positifs. n m 1. Montrerque sindivisemalors le polynômeX−1diviseX−1et déterminer le quotient. 2. Casgénéral : on ne suppose plus "ndivisem". m nr Montrer que le reste de la division euclidienne (dansK[X]) deX−1parX−1estX−1ourest le reste de la division euclidienne demparn(dansZ). Expliciter le quotient.

Exercice 4.SoitP∈K[X]. Exprimer à l’aide deP(a)etP(b)le reste de la division euclidienne dePpar (X−a)(X−b).

n2 Exercice 5.Calculer le resteRde la division euclidienne deX+ 2X−2par(X−1). 0 Indication : évaluerR(1)etR(1).

2 0 Exercice 6.On considère l’équation d’inconnueP∈K[X]:(E) (P4) =P. 1. SoitPune solution non nulle de(E)de degrén. Montrer quen= 2. 2. Endéduire l’ensemble des solutions de(E). Exercice 7.Résoudre les équations d’inconnueP∈K[X]: 0 1.XP=P. 200 2.(X+ 1)P−6P= 0. 3 Soultion : 2.{a(X+X), a∈K}

Exercice 8.On se propose de déterminer l’ensembleSdes polynômes deC[X]solutions de l’équation : (E)P(2X) =P(X−1)P(X+ 1). 1. Déterminerles polynômes constants qui sont dansS. SoitP∈C[X]non constant et solution de(E) 2. Montrerque siαest une racine dePalors2α+ 2et2α−2sont aussi des racines deP.  α 0 =α 3. Onconsidère la suite(α n ) n∈N définie par la relation de récurrence. α n+1 = 2α n + 2 (a) Exprimerα n en fonction den. (b) Supposonsqueα6=−2. En déduire que simetnsont deux entiers distincts alorsα n 6=α m . 4. MontrerquePest nul. Conclure z 5. Justifierque la fonction exponentielle complexez→en’est par une fonction polynômiale. Remarque : le résultat peut s’obtenir plus directement en regardant le degré deP.

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