Les mathématiques dans le prisme de l'histoire (par André Joyal ...

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Les mathématiques dans le prisme de l'histoire (par André Joyal ...

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Lesmath´ematiquesdansleprismedel’histoire (parAndre´Joyal)

Cesnotesont´et´epr´epar´ees`al’intentiondesjeunesstagiairesenmathe´matiques`al’UQAMenjuin-juillet 2003.

Ilestfascinantderetracerl’histoiredesmath´ematiquesjusqu’aul’originedescivilisations.Elleest inse´parabledel’histoireduprogr`eshumaineng´en´eral.

Synopsis: §P0´rheeirtois §eimatposo´e1M §2 La civilisation Egyptienne §3 La civilisation Chinoise §4 La civilisation Indienne §5 La civilisation Grecque §6 La civilisation Romaine §7 La civilisation Musulmane §8 La Renaissance §0o`pae1d’eE1u60r9L900 ´ §10 Epilogue §11 Notes sur les calendriers §12 Bibliographie

Histoiredesmath´ematiquessurInternet: The MacTutor History of Mathematics archive:~/ku.ca.dna-ts.sy/orsthithpts.dcroupww-g://w

1

§ihe´iotserPr0 L’histoirenerepr´esentequ’uneinfimefractiondelapre´histoire.Delapre´histoirehumainenoussavons peudechosessinoncequel’onpeutdevinerparl’examendessitesarch´eologiques.Desrecherchesr´ecentes base´essurl’analysedel’ADNdespopulationsactuellesonttoutefoisdonne´esdesre´sultatsnouveaux. L’humanite´actuelleseraitconstitu´ed’uneseuleesp`ece,l’Homo sapiens sapiensuaare`ecetnititat.ttCespee samaturit´esurlecontinentAfricainilyaenviron150,000ans,poursere´pandreensuitesurlecontinent Asiatiqueetlape´ninsuleEurop´eenne.LecontinentAme´ricainaurait´et´eenvahitparmigrationsuccessivea` partir de 40,000 ans, et le continent Australien par une seule migration vers la meme epoque. ˆ ´ L’humanit´eacolonis´elaterreenti`ere(saufl’Antartique)autempsdelapre´histoire.Cequiprouve quel’hommeposs`edeunecapacit´ed’adaptationexceptionellequiledistinguedesautresespe`cesanimales. C’estestunanimalsocialdou´edeparole.Ilposse`deunespritinventifquiluipermetdes’adapter`atoute sorte d’environnement hostile (comme l’hiver Canadien!). La maˆıtrise du feu, la fabrication d’outils de pierre taille´e,ladomesticationduchienetleti`al’arcsontsespremie`reconque`testechnologiques.Ellessontsuivies r del’inventiondel’e´levage,del’agriculture,dutissage,delafabricationdelapoterieetdelac´eramique. Undesprobl`emesfondamentauxdel’agricultureestceluidelare´ge´n´erationdessolscultiv´es.Caril suffitdequelquesanne´esdeculturepour´epuiserunsol.Pourlerege´ne´rerilfautlelaisserenjach`eredurant unedizainesd’anne´es.Ilsuffitensuitedecouperlespoussesd’arbrespourlesbrulercarlacendreestun excellentfertilisant.Aveccetteme´thodeunagriculteurposse´dantdixlotspeutencultiverunchaqueannee. ´ Onpeutacc´ele´rerleprocessusenengraissantlesterresaveclesexcre´mentsdub´etailaulieud’attendreune dizained’ann´ees,maiscettetechniquenefutde´couvertequeprogressivement. Danscertainesplainesfluvialesl’´epuisementdessolsparlesculturespeuteˆtrecompens´eparlefleuve quid´eposedulimon.C’estlecasparexempledesplainesduNil,duTigreetdel’Euphrate.Laconstruction dediguesetdecanauxpourl’irrigationdesterresfavorisel’organisationdutravailcollectifetl’e´tablissement d’uneadministrationpourveiller`alar´epartitiondestaˆches.Ilfautconstruiredesbatimentspourentreposer lesfruitsdutravailcollectif.Ilfautd´evelopperunee´criturepourenregistrerlacontributiondechacunen vued’unere´tributionfuture.Ilfautde´velopperunsyst`emedeloisetunereligioncommune.Toutcela favoriselede´veloppementd’uneclassesd’administrateursetdeprˆetresquitirentleursubsistanced’unetaxe impose´eauxautrestravailleurs. Lespremieresgrandescivilisationsdoiventleurexistenceauxtravauxcollectifsquen´ecessitaituncertain ` ´ typed’agriculture.C’estlecasdelaM´esopotamieavecleTigreetl’Euphrate,del’EgypteavecleNil,de l’Inde avec l’Indus et le Gange, et aussi de la Chine avec le fleuve Bleu et le le fleuve Jaune. La division des terres,lar´epartitiondesh´eritages,laconstitutiondescalendriers,laconstructiondesbˆatiments,les´echanges commerciauxoulasimplecuriosit´esuscit`erentdesprobl`emesd’ordremath´ematique;leurssolutionsonte´t´e transmisesd’uneg´en´erationa`l’autresousformederecettesoudere`glesdel’art.Iln’yapasdecivilisations sansmath´ematiques. §ieopesamot1´M LaMe´sopotamieestunere´giond’Asieant´erieurecomprenantlesvall´eesduTigreetl’Euphrate.C es fleuvesserejoignentdansuner´egionmare´cageuseavantdesejeterdanslegolfePersique.Lamaˆıtrise decemare´cageparlaconstructiondediguesfutl’oeuvrecollectivedessum´eriensvers∼L.ra0500on´egi sedivisanaturellementencit´e-e´tatsind´ependantesjusqu’`aleurextensionmaximalevers∼502Le0.ticsse´ commence`rentalors`aselivrera`desguerresf´erocespourlecontroˆledesterritoiresetdescanauxd’irrigation. LeroiLougalzaggiconquitl’ensembledescite´svers∼h´eprracartiofalavufatgre´eml’isMa’iqurepi.0532 Sargon,unofficierquiparlaitl’akkadien.OncroitquelesAkkadiens,lesCanan´enens,lesAmorites,les He´breuxetlesChald´eenssontvenusd’Arabiecarilsparlentdeslanguessimilairesditesse´mites.Lalangue akkadiennes’imposadansl’empirequidevintprogressivementbilingueaveclesume´riencommelangue ` seconde.Quoiquepeuple´edeS´emites,Babylonesere´voltacontreladynastied’Akkad.Apartirde∼1830 elle futgouvern´eeparcelledesAmorites.Elleatteignitsonapog´evers∼1730 sous le reigne du roi Hammurabi qui imposasadomination`al’Assyrieet`al’ensembledupaysdeSumer.Ellefutpile´een∼1530 par un peuple parlantunelangueindo-europe´enne,lesHittites.Elleretrouvasoninde´pendancesousNabuchodonosor en∼1137. Elle tomba sous la domination des Assyriens vers∼8L.00o-´ebybamp’eeniraprdne´neofolin Nabopolosarselibe´radel’Assyrieavecl’aidedesM`edesen∼625. Babylone retrouva alors sa splendeur d’antantavecdesjardinssuspendusconsid´ere´sparlesAncienscommel’unedesSeptMerveillesdumonde. 2

En∼salem.Ilamenadesujfiescnpaitiv´taBe`ylabe.onaNob578ascropollaitquonlae,riSynitselaPure´Jtee L’empiredeBabyloned´eclinaapre`ssaconque`teparleroiperseCyrusIIen∼539. Celui-ci permit aux juifs deretourner`aJ´erusalem.LeroiperseDariusetsurtoutXerx`esen∼deltnereednilce´pr824t`pici´ellelavi enr´eprimantdesr´evoltes.LaPersefutconquieparAlexandreleGranden∼ fit de Babylone332. Celui-ci la capitale de son empire mais il mourut en∼331. L’histoiredeBabylonenousestconnueparl’historienGrecHe´rodote.Maisaussipardescentainesde milliersdetablettesd’argilesd’e´criturecun´eiforme. LesbabyloniensdutempsduroiHammurabisavaientr´esoudredenombreuxproble`mesalge´briquesdont certainscomportentune´equationduseconddegr´e.Parexemple,unetabletted’e´criturecun´eiformediscute duprobl`emesuivant: Lasommedel’airededeuxcarre´sest´egale`a1000.Lecot´edel’unestde2/3midie,traul’deuiclee´un de10.Quevalentlescotesdescarre´s? ´ Siontraduitleproble`meennotationalg´ebriquemoderneonobtientdeuxe´quations`adeuxinconnues: x 2 +y 2 = 1000 ety= (2/3)x−r:eddgecenodnsuatio´equntl’olva’onsiebtenntesr´L.01losaoitu ´ 13 x 2 40 9 =  3 x+ 900. On trouvex= 30 etysnoi1=serte´htolinneenebrebaby0.L’alg`ssrutulosemeeltepresl`obiqor.Lue sontexprime´savecdesmotsdulangagecourant.Lestablettescontiennentdessolutions`adesprobl`emes particuliersmaislaissentdevinerunem´ethd´´ale.Laformule o e gener x= (p/2) 2 +q−p/2 quipermetdere´soudrel’´equationx 2 +px=q´miroseesepxeterecetteusformedteetniidUu.qqeneeautlb lesbabylonienssavaientadditionnerlase´rieg´eom´etrique 1 + 2 + 2 2 +∙ ∙ ∙+ 2 9 = 2 10 1 − et qu’ils savaient calculer la somme d ´ es carres ∙ ) (1 + 2∙  5 10) = . 1 + 2 2 + 3 2 +∙ ∙ ∙+ 10 2 = 10∙ 2 (1+10 ∙ 3 38 Ilssavaientobtenirdesapproximationsdeplusenpluspre´cisesd’uneracinecarre´ex=ben prenant successivement x n+1 = 2 1  x n + b x n  `apartird’unepremie`reapproximationx 1  une tablette on trouve que. Sur 2=1+ 6 2 0 4 + 6 5 0 1 2 0 1 + 6 0 3 = 1,41423... Lesmath´ematiquesbabyloniennesneselimitentpas`al’arithm´etiqueet`al’alge`bre.Lesbabylonienssavaient qu’unangleinscritdansundemi-cercleestrectangle.Ilsconnaissaientlethe´or`emedePythagorecarune tablettecontientungrandnombredesolutionsentie`resdel’e´quationx 2 +y 2 =z 2 . ´ §2 La civilisation Egyptienne ”L’Egypte est un don du NiliNeltsellpsuolgnGrecH´erodote.Leuvfleumeddeonh’lse`rpneirotsi’a”d urce au nord du lac Tanganyika son bassin couvre le Tanganyika, le Kenya, le (6671 km). Prenant sa so  ´ Ruanda,leBurundi,leCongo,leSudan,l’Ethiopieetl’Egypte.Ilfranchitlede´sertdeNubieetdelaHaute ´ Egypteparunesuccessiondesixcataractes.LescruesduNilsontgonfl´esparlespluiestropicalesdejuinen ´ Afrique. En Egypte le niveau maximal des crues est atteint en septembre. Les eaux limoneuses qui inondent lavalle´duNilviennentfertilisersonsol.Lare´gulationducoursduNilenavaldelapremie`recataractea 3