PETITS ELEMENTS DE MATHEMATIQUES UTILES

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• Publié par: asutuwin
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Extrait

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ETITS ELEMENTS DE MATHEMATIQUES UTILES

Dans cette section, nous présentons les outils mathématiques de base employés dans un cours

d’économie appliquée. Nous supposons que le lecteur est informé du calcul différentiel et

nous ne passons en revue que les techniques les plus fréquemment utilisées dans la

modélisation de la croissance. Cette note est centrée sur la présentation d’explications plus

que des formules mathématiques, afin de faciliter une compréhension rapide et aisée des

équations incluses dans le cours. Les lecteurs qui souhaitent des explications plus

approfondies

en calcul différentiel peuvent se reporter aux ouvrages de mathématiques

économiques ; précisons toutefois que ces éléments appartiennent aux éléments, de base, des

cours de mathématiques exposés durant les deux premières années universitaires.

A-DÉRIVÉES

De manière générale, la dérivée d’une fonction

f(x)

par rapport à x montre comment

f(.)

varie

lorsque x se modifie de façon infinitésimale. Si

f(x)

augmente lorsque x s’accroît.

df/dx

> O,

et vice versa. Par exemple, si

f(x)= 2

x,

df/dx= 2

ou

df

= 2

dx :

à toute variation donnée, très

petite, de x, correspond une variation 2 fois plus élevée de

f

(x). Dans le langage courant de

l’économie, on indique aussi que l’élasticité de f(x) à x est de 2.

Signification des variables de type

Dans l’analyse de la croissance d’une série, les dérivées sont le plus souvent calculées par

rapport au temps. Dans l’exemple précédent,

K

est une fonction du temps i, tout comme

f

est

une fonction de x. Si l’on veut mesurer l’amplitude du changement du stock de capital K avec

le temps, nous devons calculer la dérivée

dK/dt.

Si le stock de capital croît avec le temps,

dK/dt

> O . Par convention, les dérivées par rapport au temps se notent en plaçant un point an-

dessus de la variable dérivée : ainsi,

dK/dt

s’écrit

,

les deux expressions étant équivalentes.

Par exemple, si

= 5, le stock de capital augmente d’environ 5 unités pour chaque unité de

temps écoulé. Pourquoi «environ » et non 5 exactement ?

Si nous calculons la variation du stock de capital entre deux périodes de temps il

s’agit d’une

variation par unité de temps, par exemple d’une année sur l’autre entre 1999 et 2000, le stock

de capital a augmenté de 12 milliards d’euros.. Ceci peut se représenter de manière formelle

par :

En revanche,

est une

variation

instantanée plutôt qu’une variation sur un an: Variation

instantanée un peu à l’image d’un tachygraphe qui enregistre une vitesse à un instant donné.

On peut imaginer que la période annuelle passe à un trimestre, une semaine, un jour, une

heure, etc. : plus la durée de la période se réduit, plus l’expression

, par unité

de temps, tend vers la variation instantanée

. C’est ainsi que l’on définit formellement la

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