TD3 Corrige.pdf - Alg`ebre et Arithmétique Mathématiques L3 ...

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• Publié par: ojurarop
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Alg ` ebreetArithm ´ etique Universite´deNiceSophia-Antipolis

Mathe ´ matiquesL3 Ann´ee2008-2009

´ ´ CORRIGE DE FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGES 3

ACTION DE GROUPES

Exercice(Action par conjugaison). Soit (G,∗, e) un groupe fini. (1)Onde´finitl’applicationsuivante // G×G G  −1 // (g, x) g.x:=g∗x∗g . Montrer qu’il s’agit d’une action du groupeGsurlui-mˆeme. −1 Le neutre agit trivialement :e.x=e∗x∗e=e∗x∗e=x. 0 Pour tout, xg, gdansG, on a −1−1 0 00 00 −1−0 010 g.(g .x) =g.(g∗x∗g) =g∗g∗x∗g∗g= (g∗g)∗x∗(g∗g() =g∗g).x (2) Lorsquequ’un groupeGagit sur un ensembleX, on appellepoints fixessdementel´eles´ Xqui sont invariants sous l’action deG; ils forment l’ensemble{x∈X|g.x=x,∀g∈G}. D´ecrirelespointsfixesdel’actionparconjugaisond’ungroupeGem.m-eˆlursiu Un´el´ementx∈Gest un point fixe si et seulement si∀g∈G g.x=xqeiuavelqeiuse´t,cnt −1 `ag∗x∗g=x⇔g∗x=x∗g. Lespointsfixespourl’actionparconjugaisond’ungroupesurlui-meˆmesontdoncles´el´ements quicommutentavectouslesautres,c’est-a`-direles´el´ementsducentredeG (3) Dansle casG=S 4 s.etruilasatibelssetesitrbsolererice´d,

Lesdiff´erentesorbitessont •id •(12),(13),(14),(23),(24),(34) •(12)(34),(13)(24),(14)(23) •(123),(132),(134),(143),(234),(243),(124),(142) •(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432). Les stabilisateurs correspondant sont •G id =S 4 •G (12) ={id,(12),(34),(12)(34)} •G (12)(34) ={id,(12),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(1423)} •G={id,(123),(132)} (123) •G (1234) ={id,(1234),(13)(24),(1432)}. V´erification:`achaquefois,onabien|G|=|G.x| × |G x |. 1