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• Publié par: yhafutup
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Université de Poitiers Département de Mathématiques

5l13–Probabilités Élémentaires Licence de Mathématiques, Année 2010–2011

o Feuille d’exercices n1. — Calcul élémentaire des probabilités

Exercice 1.— Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé modélisant une expérience aléatoire. Un sousensemble mesurableA∈ AdeΩest identifié avec la propositionappartenir àAet est appelé événement. Ainsi, dire que l’événement se produit, c’est considérer l’ensembleA; dire c qu’il ne se produit pas, c’est considérer son complémentaireA. Lorsqu’on prend unω∈Ω: si ω∈A, on dit queωréaliseAou plus simplement queAest réalisé ; siω∈/ A, on dit queωne réalise pasAou plus simplement queAn’est pas réalisé. (i) Exprimeren fonction des événementsA,B,Cet des opérations ensemblistes les événements suivants : 1.Aseul se produit ; 2.AetCse produisent mais nonB; 3. lestrois événements se produisent ; 4. l’unau moins des événements se produit ; 5. deuxévénements au moins se produisent ; 6. unévénement au plus se produit ; 7. aucundes trois événements se produit ; 8. deuxévénements exactement se produisent ; 9. pasplus de deux événements ne se produisent. (ii) Supposonsque(Ω,A,P)soit le modèle élémentaire correspondant au lancer d’un dé à six faces,Al’événementle résultat est impair,B,le résultat est 3, 4 ou 5, etC,le résultat est divisible par trois. Expliciter ces événements et ceux qui correspondent à la question précédente. Les exercices suivants sont assez simples. Il est demandé de décrire précisément l’espace probabilisé envisagé qui sera choisi de sorte à être un modèle probabiliste classique (si possible). Exercice 2.On jette 4 dés (distinguables). Combien y atil :— (i) – derésultats possibles, – decarrés (exemple :), 1 2 3 4 – debrelans (exemple :), 1 2 3 4 – dedoubles paires (distinctes) (exemple :), 1 2 3 4 – depaires simples (exemple :), 1 2 3 4 – etde dispositions banales (exemple :) (parmi ces dernières, on pourrait aussi 1 2 3 4 distinguer les suites) ? Vérifier la cohérence des différents résultats. (ii) Endéduire la probabilité des événements correspondants dans le cadre d’un modèle pro babiliste qu’on précisera. (iii) Onpourra poursuivre l’exercice en considérant le cas de 5 dés où on distinguera les quintes, les carrés, les fulls (paire et triplet de marques distinctes), les paires doubles, triplets simples, les paires simples, et finalement les dispositions banales (parmi ces dernières, on pourrait aussi distinguer les suites).