Bac 2016 Pondichéry Maths spécialité ES

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BACCALAUR´ATG´N´RAL SESSION 2016 MATH´MATIQUES-S´rieES ENSEIGNEMENTDESP´CIALIT´ Dur´e de l’´preuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices ´lectroniques de poche sont autoris´es, conform´ment ` la r´glementation en vigueur. Le sujet est compos´ de 4 exercices ind´pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´sultat pr´c´demment donn´ dans le texte pour aborder les questions suivantes. Le candidat est invit´ ` faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆme incompl`te ou non fructueuse, qu’il aura d´velopp´e. Il est rappel´ que la qualit´ de la r´daction, la clart´ et la pr´cision des raisonnements seront prises en compte dans l’appr´ciation des copies. Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 9 pages num´rot´es de 1/9 ` 9/9 . 16MAESSIN1 page 1/9 EXERCICE 1 (4 points) Cet exercice est un QCM (questionnaire ` choix multiples). Pour chacune des quatre questions pos´es, une seule des trois r´ponses propos´es est exacte. Indiquer sur la copie le num´ro de la question et recopier la r´ponse exacte. Aucune justification n’est demand´e. Une r´ponse exacte rapporte 1 point, une r´ponse fausse ou l’absence de r´ponse ne rapporte ni n’enl`ve de point. Une r´ponse multiple ne rapporte aucun point. 1. Soitfla fonction d´finie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=3x−xlnx. ′ On admet quefest d´rivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et on d´signe parfsa fonction d´riv´e.
Publié le : jeudi 21 avril 2016
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BACCALAUR´ATG´N´RAL

SESSION 2016

MATH´MATIQUES-S´rieES
ENSEIGNEMENTDESP´CIALIT´

Dur´e de l’´preuve : 3 heures

Coefficient : 7

Les calculatrices ´lectroniques de poche sont autoris´es,
conform´ment ` la r´glementation en vigueur.

Le sujet est compos´ de 4 exercices ind´pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´sultat pr´c´demment donn´ dans le texte
pour aborder les questions suivantes.
Le candidat est invit´ ` faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆme incompl`te ou
non fructueuse, qu’il aura d´velopp´e.
Il est rappel´ que la qualit´ de la r´daction, la clart´ et la pr´cision des raisonnements seront
prises en compte dans l’appr´ciation des copies.

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 9 pages
num´rot´es de 1/9 ` 9/9 .

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EXERCICE 1 (4 points)
Cet exercice est un QCM (questionnaire ` choix multiples). Pour chacune des quatre questions pos´es, une
seule des trois r´ponses propos´es est exacte. Indiquer sur la copie le num´ro de la question et recopier la
r´ponse exacte. Aucune justification n’est demand´e. Une r´ponse exacte rapporte 1 point, une r´ponse
fausse ou l’absence de r´ponse ne rapporte ni n’enl`ve de point. Une r´ponse multiple ne rapporte aucun
point.

1. Soitfla fonction d´finie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=3x−xlnx.

On admet quefest d´rivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et on d´signe parfsa fonction d´riv´e.
Pour tout nombre r´elxde l’intervalle ]0 ;+∞[ on a :

1

(a)f(x)=3−
x


(b)f(x)=3−lnx


(c)f(x)=2−lnx

2consid`re la suite g´om´trique de premier terme 1 et de raison 2.. On
La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

(a)4 095

(b)8 191

14
1−2
(c)
1−2

3. Unevariable al´atoireXla fonction de densit´; 7] dontsuit une loi uniforme sur l’intervalle [2
est repr´sent´e ci-dessous.

1
5

0

|
1

|
2

|
3

|
4

|
5

|
6

|
7

P(A) d´signe la probabilit´ d’un ´v`nement A etE(X) l’esp´rance de la variable al´atoireX.

1
(a)P(36X67)=
4

(b)P(X>4)=P(26X65)

9
(c)E(X)=
5

4r´alise un sondage sur un ´chantillon de. Onnpersonnes (n, entier naturel non nul).
Parmi les tailles de l’´chantillon propos´es ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir un
intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?

(a)n=5 000

16MAESSIN1

(b)n=100

(c)n=10 000

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EXERCICE 2 (6 points)
La partie A peut ˆtre trait´e ind´pendamment des parties B et C.
L’entrepriseBBE(BoioiBiergnes´) fabrique et vend des granul´s de bois pour alimenter des
chaudi`res et des poˆles chez des particuliers ou dans des collectivit´s.
L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granul´s par jour.

•Les coˆts de fabrication quotidiens sont mod´lis´s par la fonctionCd´finie sur l’intervalle
[1 ; 15] par :

2−x+5
C(x)=0,3x−x+e

o`xd´signe la quantit´ de granul´s en tonnes etC(x) le coˆt de fabrication quotidien
correspondant en centaines d’euros.

•Dans l’entrepriseBBEle prix de vente d’une tonne de granul´s de bois est de 300 euros.
La recette quotidienne de l’entreprise est donc donn´e par la fonctionRd´finie sur l’intervalle
[1 ; 15] par :

R(x)=3x

o`xd´signe la quantit´ de granul´s en tonnes etR(x) la recette quotidienne correspondante
en centaines d’euros.

•On d´finit parD(x) le r´sultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-`-dire
la diff´rence entre la recetteR(x) et le coˆtC(x,)`oxd´signe la quantit´ de granul´s en
tonnes.

PartieA:´tudegraphique

Sur le graphique situ´ en annexe (page 9/9), on donneCetΔles repr´sentations graphiques
respectives des fonctionsCetRdans un rep`re d’origine O.
Dans cette partie A, r´pondre aux questions suivantes ` l’aide du graphique, et avec la pr´cision
permise par celui-ci. Aucune justification n’est demand´e.

1. D´terminerla quantit´ de granul´s en tonnes pour laquelle le coˆt quotidien de l’entreprise est
minimal.

2.

(a)D´terminer les valeurs deC(6) etR(6) puis en d´duire une estimation du r´sultat net
quotidien en euros d´gag´ par l’entreprise pour 6 tonnes de granul´s fabriqu´s et vendus.

16MAESSIN1

page 3/9

(b)D´terminer les quantit´s possibles de granul´s en tonnes que l’entreprise doit produire et
vendre quotidiennement pour d´gager un r´sultat net positif, c’est-`-dire un b´n´fice.

PartieB:´tuded’unefonction

On consid`re la fonctiongd´finie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

−x+5
g(x)=−0,6x+4+e .


On admet que la fonctiongest d´rivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on notegsa fonction d´riv´e.

1.

2.


(a)Calculerg(x) pour tout r´elxde l’intervalle [1 ; 15].

(b)En d´duire que la fonctiongest d´croissante sur l’intervalle [1 ; 15].

(a)Dresser le tableau de variation de la fonctiongsur l’intervalle [1en pr´cisant les; 15],
valeurs deg(1) et deg(15) arrondies ` l’unit´.

(b)Le tableau de variation permet d’affirmer que l’´quationg(x)=0 admet une unique
solutionαsur l’intervalle [1 ; 15].
Donner une valeur approch´e deα` 0,1 pr`s.

(c)D´duire des questions pr´c´dentes le tableau de signe deg(x) sur l’intervalle [1 ; 15].

Partie C : Application ´conomique

1que pour tout r´el. D´montrerxde l’intervalle [1 ; 15], on a :

2−x+5
D(x)=−0,3x+4x−e .


2admet que la fonction. OnDest d´rivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on noteDsa fonction d´riv´e.

D´montrer que pour tout r´elxde l’intervalle [1 ; 15], on aD(x)=g(x`o,)gla fonction ´tudi´e
dans la partie B.

3. End´duire les variations de la fonctionDsur l’intervalle [1; 15].

4.

(a)?Pour quelle quantit´ de granul´s l’entreprise va-t-elle rendre son b´n´fice maximal
On donnera une valeur approch´e du r´sultat ` 0,1 tonne pr`s.

(b)Calculer alors le b´n´fice maximal ` l’euro pr`s.

16MAESSIN1

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EXERCICE 3 (5 points)
Les parties A et B peuvent ˆtre trait´es de mani`re ind´pendante.

Partie A

On dispose des renseignements suivants ` propos du baccalaur´at session 2015 :

•49 % des inscrits ont pass´ un baccalaur´at g´n´ral, 20 % un baccalaur´at technologique et
les autres un baccalaur´at professionnel ;

•dndiseacutaasnsiqusai,6%due90195,d%seacdnditar´n´nola´t´t¸cerubsacaacurlatg´a
baccalaur´at technologique.

Source : DEPP (juillet 2015)

On choisit au hasard un candidat au baccalaur´at de la session 2015 et on consid`re les ´v`nements
suivants :

•G;candidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at g´n´ral: Le
≪ ≫

•T: Lecandidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at technologique;
≪ ≫

•S;candidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at professionnel: Le
≪ ≫

•R:.¸curet´a´atidndcaLe
≪ ≫

Pour tout ´v`nementA, on noteP(A) sa probabilit´ etAson ´v`nement contraire.
De plus, siBest un autre ´v`nement, on notePB(A) la probabilit´ deAsachantB.

1les probabilit´s. Pr´ciserP(G),P(T),PT(R) etPG(R).

2la situation par un arbre pond´r´. On indiquera les probabilit´s trouv´es ` la question. Traduire
pr´c´dente. Cet arbre pourra ˆtre compl´t´ par la suite.

3que la probabilit´ que le candidat choisi se soit pr´sent´ au baccalaur´at technologique. V´rifier
et l’ait obtenu est ´gale ` 0,181 2 .

4olgxdlabu´retissouepetrcseteiossnleder`tsinimeL.tiononNacati’´dutnuacnu´naonlaae
de 87,8 % pour l’ensemble des candidats pr´sentant l’un des baccalaur´ats.

(a)V´rifier que la probabilit´ que le candidat choisi se
professionnel et l’ait obtenu est ´gale ` 0,248 45 .

16MAESSIN1

soit pr´sent´ au

baccalaur´at

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(b)Sachant que le candidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at professionnel, d´terminer la
probabilit´qu’ilait´t´re¸cu.Ondonneraunevaleurapproch´edur´sultataumilli`me.

Partie B

`l’issuedes´preuvesdubaccalaur´at,une´tudeestfaitesurlesnotesobtenuesparlescandidats
enmath´matiquesetenfran¸cais.
On admet que la note de math´matiques peut ˆtre mod´lis´e par une variable al´atoireXMqui
suit la loi normale de moyenne 12,5 et d’´cart-type 3,5.
Demˆmelanotedefran¸caispeutˆtremod´lis´eparunevariableal´atoireXFqui suit la loi
normale de moyenne 13,2 et d’´cart-type 2,1.

1. D´terminerP(96XM616) en donnant le r´sultat arrondi au centi`me.

2. Surles graphiques ci-dessous, on a repr´sent´ en pointill´ la fonction densit´ associ´e ` la
variable al´atoireXM.
Lafonctiondensit´associ´e`XFest repr´sent´e sur un seul de ces graphiques.
Quel est ce graphique? Expliquer le choix.

0,2

0,15

0,1

0,05

0

5

10 15 20 25 30

Graphique 1

16MAESSIN1

0,2

0,15

0,1

0,05

0

5

10 15 20 25 30

Graphique 2

0,2

0,15

0,1

0,05

0

5

10 15 20 25 30

Graphique 3

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EXERCICE 4 (5 points)
Une ´tude statistique sur une population d’acheteurs a montr´ que :

•90 %des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir
continuer ` utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur
prochain achat en magasin;

•60 % despersonnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer `
effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant
Internet.

Dans toute la suite de l’exercice,nd´signe un entier naturel non nul.
Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs.
On note :

•anla probabilit´ que cette personne fasse sonn−i`me achat sur Internet ;

•bnla probabilit´ que cette personne fasse sonn−i`me achat en magasin.

On suppose de plus quea1=1 etb1=0.

On notePn=anbnl’´tat probabiliste correspondant aun−i`me achat. AinsiP1=1
On note :

•Al’´tat :La personne eff;ectue son achat sur Internet
≪ ≫

•BLa personne el’´tat :ffectue son achat en magasin.
≪ ≫

1la situation par un graphe probabiliste de sommets. Repr´senterAetB.


0 .

2la matrice de transition. ´crireMassoci´e ` ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre
alphab´tique.

3.

4
(a)Calculer la matriceM.

e
(b)achat sur Internet estEn d´duire que la probabilit´ que la personne interrog´e fasse son 5
´gale ` 0,812 5.

16MAESSIN1

page 7/9


4note. OnP=a

5.


bl’´tat stable associ´ ` ce graphe.

(a)Montrer que les nombresaetbsont solutions du syst`me :
(
0,1a−0,4b=0
a+b=1
(b)R´soudre le syst`me pr´c´dent.

(c)retgnol`uellme,qlapreestlitibobaecttq´euerepnnsoasefsesehcassstanIrunretet?

(a)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, on a :

an+1=0,5an+0,4

(b)Recopier et compl´ter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier natureln
non nul tel quean60,801.

Variables:Nest un entier naturel
Aest un nombre r´el
Initialisation: Affecter`Nla valeur 1
Affetcre`Ala valeur 1
Traitementque: Tant. . . . . . . . . . . .
Afftce`reAla valeur 0,5×A+0,4
Afftcre`eNla valeur. . . . . . . . .
Fin Tant que
Sortie: AfficherN

(c)Quelle est la valeur affich´e par l’algorithme en sortie ?

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50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
O

16MAESSIN1

Δ

|
1

C

|
2

ANNEXE

N’est pas ` rendre avec la copie

|
3

|
4

|
5

|
6

|
7

|
8

|
9

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10

|
11

|
12

|
13

|
14

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15

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