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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 10 pages numérotées de 1/10 à 10/10. Le sujet comporte une feuille d’annexe à la page 10/10 à remettre avec la copie. 16MASCSIN1 Page 1/10 EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats Les deux partiesAetBpeuvent être traitées de façon indépendante. Partie A Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoireT suivant une loi normale de moyenneµ113,9 etd’écart types.
Publié le : vendredi 22 avril 2016
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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2016 MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 9
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 10 pages numérotées de 1/10 à 10/10.
Le sujet comporte une feuille d’annexe à la page 10/10 à remettre avec la copie.
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EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Les deux partiesAetBpeuvent être traitées de façon indépendante.
Partie ADes études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoireTsuivant une loi normale de moyenneµ113,9 et d’écart types. La fonction densité de probabilité deTest représentée ci-dessous :
1.On sait queP(T22)10,023 . En exploitant cette information : a.Hachurer, sur le graphique donné en annexe page 10/10, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0,023. b.DéterminerP(5,8T 22) . Justifier le résultat. Montrer qu’une valeur approchée desau dixième est 4,1. 2.On choisit un jeune en France au hasard. Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième. Partie B
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
La HadopiAutorité pour la diffusion des œuvres et la protection des droits sur (Haute internet)souhaite connaître la proportion en Francede jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :
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 On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.  Pour chaque jeune de cet échantillon : ·le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l’enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ; ·l’enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ; si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère ; si le résultat du lancer est « 1 » alors le jeune doit répondre « Oui » ; si le résultat du lancer est « 3 ou 5 » alors le jeune doit répondre « Non ».
Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
On notepla proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
1.Calculs de probabilitésOn choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole (P). On note :Rl’évènement « le résultat du lancer est pair ». Ol’évènement « le jeune a répondu Oui ».
Reproduire et compléterl’arbre pondéré ci-dessous :
R
R
O
O
O
O
En déduire que la probabilitéqde l’évènement « le jeune a répondu Oui » est : 1 1 q1p#. 2 6 2.Intervalle de confiancea.À la demande de la Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 625 réponses « Oui ».Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportionq de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans. b.Que peut-on en conclure sur la proportionpde jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
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EXERCICE 2 (3 points)
Commun à tous les candidats
L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
Dans le plan complexe muni d’un repère r r orthonormé direct(O;u,v!, on considère le pentagone régulierA A AA A de centreOtel 0 1 2 3 4 queOA1u. 0 On rappelle que dans le pentagone régulier A A A A Aci-contre : 0 1 2 3 4 ·les cinq côtés sont de même longueur ; ·les pointsA,A,A,AetA01 2 3 4 appartiennent au cercle trigonométrique ; ·pour tout entierkappartenant à 2p {0 ;1; 2 ; 3}on a(OA;OA!1. k k#1 5
O
i 1.On considère les pointsBd’affixe-1etJd’affixe . 2 1 Le cerclede centreJet de rayon coupe le segment[BJ]en un pointK. 2 CalculerBJ, puis en déduireBK. 2.a. Donner sous forme exponentielle l’affixe du pointA. Justifier brièvement. 2 24pb.Démontrer queBA212#2 cos . 5c.Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :
« sqrt » signifie « racine carrée »
 En déduire, grâce à ces résultats, queBA1BK. 2 r r 3.Dans le repère(O;u,v!donné en annexe page 10/10, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.
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EXERCICE 3 (5 points)
Partie A
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
a On considère les matricesMde la formeM15
baetbsont des nombres entiers. 3
Le nombre3a-5best appelé le déterminant deM. On le note det(M). Ainsidet(M!13a-5b. 13-b1.Dans cette question on suppose quedet(M!¹0et on poseN1 . det(M!-5a   Justifier queNest l’inverse deM. 2.On considère l’équation (E) :det(M!13.On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a;b) solutions de l’équation (E). a.Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E). b.Montrer que le couple d’entiers (a;b) est solution de (E) si et seulement si 3(a-6)15(b-3) . c.En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Partie B
6 311.On poseQ.5 3   En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse deQ.
2.Codage avec la matrice Q 6 Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matriceQ15 procédure ci-après :
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3utilise la on 3
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x1 Étape 1: On associe au mot la matriceX1  oùx est l’entier correspondant à la 1 x 2première lettre du mot etx l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le 2 tableau de correspondance ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 y1 Étape 2: La matriceest transformée en la matriceY1telle queY1QX.y 2r1 Étape 3: La matriceYest transformée en la matriceR1 telle querest le reste de la 1 r 2division euclidienne deypar 26 etr est le reste de la division euclidienne dey1 2 2 par 26. r1 Étape 4: À la matriceR1 on associe un mot de deux lettres selon le tableau de r 2correspondance de l’étape 1. 9 66 14Exemple : JE®X1 ®Y1 ®R1 ®OF 4 57 5      
Coder le mot DO.
Le mot JE est codé en le mot OF.
3.Procédure de décodageOn conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matriceXa été transformée en la matriceYtelle queY1QX. 3xº3r-3r[26]-11 1 2 1 a)Démontrer que3X3Q Ypuis que. 3xº -5r#6r[26] 2 1 2 xºr-r[26]1 1 2 × º[] b)En remarquant que1 269 3 , montrer que. xº7r#2r[26] 2 1 2 c)Décoder le mot SG.
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EXERCICE 4 (3 points)
Commun à tous les candidats
xSoitfla fonction définie sur]0;14]parf(x!12-ln . 2
La courbe représentativeCde la fonctionfest donnée dans le repère orthogonal d’origineOf ci-dessous :
Q
O
P
M
Cf
À tout pointMappartenant àC, on associe le pointPprojeté orthogonal deMsur l’axe des f abscisses, et le pointQprojeté orthogonal deMsur l’axe des ordonnées.
·L’aire du rectangleOPMQest-elle constante quelle que soit la position du pointMsurC? f ·L’aire du rectangleOPMQpeut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées du pointMcorrespondant.
Justifier les réponses.
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EXERCICE 5 (5 points)
Commun à tous les candidats
On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambianteT125°C et on la place dans un four à 0 température constanteT1100°C. F
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A : Modélisation discrète
Pournentier naturel, on noteTla température en degré Celsius de la boîte au bout denn minutes. On a doncT125. 0 Pournnon nul, la valeurTest calculée puis affichée par l’algorithme suivant : n
Initialisation : Traitement :
Sortie :
Tprend la valeur 25 Demander la valeur denPouriallant de 1 ànfaire Tprend la valeur 0,85×T#15 Fin Pour AfficherT
1.Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité. n 2.Démontrer que, pour tout entier natureln, on aT1100-75×0,85 .n 3.Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
Partie B : Modélisation continue
Dans cette partie,tdésigne un réel positif.
On suppose désormais qu'à l'instantt (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée parf(t) (exprimée en degré Celsius) avec : ln 5 -t 10 f(t)1100-75e. 1.a. Étudier le sens de variations defsur [0 ; +[. b.Justifier que sit10 alorsf(t)85.
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2.Soitun réel supérieur ou égal à 10. A(! le domaine délimité par les droites d'équationt10, = t =,y =85 e On notet la courbe représentativeCdef. f On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps, si l'aire, exprimée en unité ! d’aire, du domaineA(est supérieure à 80. fC
y185
a.Justifier, à l’aide du graphique donné en annexe page 10/10, que l’on aA(25!280. ln 5 -t 10 b.Justifier que, pour 10, on aA(!115(-10!-d75 e t. 10
c.
La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
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ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie
EXERCICE 1
EXERCICE 2
EXERCICE 5
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