BAcES2016-mathématiques-pondichéry

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BACCALAUR´ATG´N´RAL SESSION 2016 MATH´MATIQUES-S´rieES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Dur´e de l’´preuve : 3 heures Coefficient : 5 MATH´MATIQUES-S´rieL ENSEIGNEMENTDESP´CIALIT´ Dur´e de l’´preuve : 3 heures Coefficient : 4 Les calculatrices ´lectroniques de poche sont autoris´es, conform´ment ` la r´glementation en vigueur. Le sujet est compos´ de 4 exercices ind´pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´sultat pr´c´demment donn´ dans le texte pour aborder les questions suivantes. Le candidat est invit´ ` faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆme incompl`te ou non fructueuse, qu’il aura d´velopp´e. Il est rappel´ que la qualit´ de la r´daction, la clart´ et la pr´cision des raisonnements seront prises en compte dans l’appr´ciation des copies. Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 9 pages num´rot´es de 1/9 ` 9/9 . 16MAELIN1 page 1/9 EXERCICE 1 (4 points) Cet exercice est un QCM (questionnaire ` choix multiples). Pour chacune des quatre questions pos´es, une seule des trois r´ponses propos´es est exacte. Indiquer sur la copie le num´ro de la question et recopier la r´ponse exacte. Aucune justification n’est demand´e. Une r´ponse exacte rapporte 1 point, une r´ponse fausse ou l’absence de r´ponse ne rapporte ni n’enl`ve de point. Une r´ponse multiple ne rapporte aucun point. 1. Soitfla fonction d´finie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=3x−xlnx.
Publié le : jeudi 21 avril 2016
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BACCALAUR´ATG´N´RAL

SESSION 2016

MATH´MATIQUES-S´rieES
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Dur´e de l’´preuve : 3 heures

Coefficient : 5

MATH´MATIQUES-S´rieL
ENSEIGNEMENTDESP´CIALIT´

Dur´e de l’´preuve : 3 heures

Coefficient : 4

Les calculatrices ´lectroniques de poche sont autoris´es,
conform´ment ` la r´glementation en vigueur.

Le sujet est compos´ de 4 exercices ind´pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´sultat pr´c´demment donn´ dans le texte
pour aborder les questions suivantes.
Le candidat est invit´ ` faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆme incompl`te ou
non fructueuse, qu’il aura d´velopp´e.
Il est rappel´ que la qualit´ de la r´daction, la clart´ et la pr´cision des raisonnements seront
prises en compte dans l’appr´ciation des copies.

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 9 pages
num´rot´es de 1/9 ` 9/9 .

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EXERCICE 1 (4 points)
Cet exercice est un QCM (questionnaire ` choix multiples). Pour chacune des quatre questions pos´es, une
seule des trois r´ponses propos´es est exacte. Indiquer sur la copie le num´ro de la question et recopier la
r´ponse exacte. Aucune justification n’est demand´e. Une r´ponse exacte rapporte 1 point, une r´ponse
fausse ou l’absence de r´ponse ne rapporte ni n’enl`ve de point. Une r´ponse multiple ne rapporte aucun
point.

1. Soitfla fonction d´finie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=3x−xlnx.

On admet quefest d´rivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et on d´signe parfsa fonction d´riv´e.
Pour tout nombre r´elxde l’intervalle ]0 ;+∞[ on a :

1

(a)f(x)=3−
x


(b)f(x)=3−lnx


(c)f(x)=2−lnx

2consid`re la suite g´om´trique de premier terme 1 et de raison 2.. On
La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

(a)4 095

(b)8 191

14
1−2
(c)
1−2

3. Unevariable al´atoireXla fonction de densit´; 7] dontsuit une loi uniforme sur l’intervalle [2
est repr´sent´e ci-dessous.

1
5

0

|
1

|
2

|
3

|
4

|
5

|
6

|
7

P(A) d´signe la probabilit´ d’un ´v`nement A etE(X) l’esp´rance de la variable al´atoireX.

1
(a)P(36X67)=
4

(b)P(X>4)=P(26X65)

9
(c)E(X)=
5

4r´alise un sondage sur un ´chantillon de. Onnpersonnes (n, entier naturel non nul).
Parmi les tailles de l’´chantillon propos´es ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir un
intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?

(a)n=5 000

16MAELIN1

(b)n=100

(c)n=10 000

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EXERCICE 2 (6 points)
La partie A peut ˆtre trait´e ind´pendamment des parties B et C.
L’entrepriseBBE(BioBois´nergie) fabrique et vend des granul´s de bois pour alimenter des
chaudi`res et des poˆles chez des particuliers ou dans des collectivit´s.
L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granul´s par jour.

•Les coˆts de fabrication quotidiens sont mod´lis´s par la fonctionCd´finie sur l’intervalle
[1 ; 15] par :

2−x+5
C(x)=0,3x−x+e

o`xd´signe la quantit´ de granul´s en tonnes etC(x) le coˆt de fabrication quotidien
correspondant en centaines d’euros.

•Dans l’entrepriseBBEle prix de vente d’une tonne de granul´s de bois est de 300 euros.
La recette quotidienne de l’entreprise est donc donn´e par la fonctionRd´finie sur l’intervalle
[1 ; 15] par :

R(x)=3x

o`xd´signe la quantit´ de granul´s en tonnes etR(x) la recette quotidienne correspondante
en centaines d’euros.

•On d´finit parD(x) le r´sultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-`-dire
la diff´rence entre la recetteR(x) et le coˆtC(x),o`xd´signe la quantit´ de granul´s en
tonnes.

PartieA:´tudegraphique

Sur le graphique situ´ en annexe (page 9/9), on donneCetΔles repr´sentations graphiques
respectives des fonctionsCetRdans un rep`re d’origine O.
Dans cette partie A, r´pondre aux questions suivantes ` l’aide du graphique, et avec la pr´cision
permise par celui-ci. Aucune justification n’est demand´e.

1la quantit´ de granul´s en tonnes pour laquelle le coˆt quotidien de l’entreprise est. D´terminer
minimal.

2.

(a)D´terminer les valeurs deC(6) etR(6) puis en d´duire une estimation du r´sultat net
quotidien en euros d´gag´ par l’entreprise pour 6 tonnes de granul´s fabriqu´s et vendus.

16MAELIN1

page 3/9

(b)D´terminer les quantit´s possibles de granul´s en tonnes que l’entreprise doit produire et
vendre quotidiennement pour d´gager un r´sultat net positif, c’est-`-dire un b´n´fice.

PartieB:´tuded’unefonction

On consid`re la fonctiongd´finie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

−x+5
g(x)=−0,6x+4+e .


On admet que la fonctiongest d´rivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on notegsa fonction d´riv´e.

1.

2.


(a)Calculerg(x) pour tout r´elxde l’intervalle [1 ; 15].

(b)En d´duire que la fonctiongest d´croissante sur l’intervalle [1 ; 15].

(a)Dresser le tableau de variation de la fonctiongsur l’intervalle [1; 15],en pr´cisant les
valeurs deg(1) et deg(15) arrondies ` l’unit´.

(b)Le tableau de variation permet d’affirmer que l’´quationg(x)=0 admet une unique
solutionαsur l’intervalle [1 ; 15].
Donner une valeur approch´e deα` 0,1 pr`s.

(c)D´duire des questions pr´c´dentes le tableau de signe deg(x) sur l’intervalle [1 ; 15].

Partie C : Application ´conomique

1. D´montrerque pour tout r´elxde l’intervalle [1 ; 15], on a :

2−x+5
D(x)=−0,3x+4x−e .


2admet que la fonction. OnDest d´rivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on noteDsa fonction d´riv´e.

D´montrer que pour tout r´elxde l’intervalle [1 ; 15], on aD(x)=g(xo`),gla fonction ´tudi´e
dans la partie B.

3d´duire les variations de la fonction. EnDsur l’intervalle [1; 15].

4.

(a)?Pour quelle quantit´ de granul´s l’entreprise va-t-elle rendre son b´n´fice maximal
On donnera une valeur approch´e du r´sultat ` 0,1 tonne pr`s.

(b)Calculer alors le b´n´fice maximal ` l’euro pr`s.

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EXERCICE 3 (5 points)
Les parties A et B peuvent ˆtre trait´es de mani`re ind´pendante.

Partie A

On dispose des renseignements suivants ` propos du baccalaur´at session 2015 :

•49 % des inscrits ont pass´ un baccalaur´at g´n´ral, 20 % un baccalaur´at technologique et
les autres un baccalaur´at professionnel ;

•alaubacctsaudidacsna%5ed9,1e9qusiinsa¸uec´rt´tnolar´n´gta´rscde6%0,tsdadianua
baccalaur´at technologique.

Source : DEPP (juillet 2015)

On choisit au hasard un candidat au baccalaur´at de la session 2015 et on consid`re les ´v`nements
suivants :

•G;: Lecandidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at g´n´ral
≪ ≫

•T;candidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at technologique: Le
≪ ≫

•Scandidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at professionnel: Le;
≪ ≫

•R: Lecandidat a ´t´ rec¸u.
≪ ≫

Pour tout ´v`nementA, on noteP(A) sa probabilit´ etAson ´v`nement contraire.
De plus, siBest un autre ´v`nement, on notePB(A) la probabilit´ deAsachantB.

1les probabilit´s. Pr´ciserP(G),P(T),PT(R) etPG(R).

2la situation par un arbre pond´r´. On indiquera les probabilit´s trouv´es ` la question. Traduire
pr´c´dente. Cet arbre pourra ˆtre compl´t´ par la suite.

3. V´rifierque la probabilit´ que le candidat choisi se soit pr´sent´ au baccalaur´at technologique
et l’ait obtenu est ´gale ` 0,181 2 .

4cutaoiNnered’ld´eminist`.Llabo´redatnulgxunnaac´onioatlenanoseisttesurcetepoussi
de 87,8 % pour l’ensemble des candidats pr´sentant l’un des baccalaur´ats.

(a)V´rifier que la probabilit´ que le candidat choisi se
professionnel et l’ait obtenu est ´gale ` 0,248 45 .

16MAELIN1

soit pr´sent´ au

baccalaur´at

page 5/9

(b)Sachant que le candidat s’est pr´sent´ au baccalaur´at professionnel, d´terminer la
probabilit´ qu’il ait ´t´ rec¸u. On donnera une valeur approch´e du r´sultat au milli`me.

Partie B

`l’issuedes´preuvesdubaccalaur´at,une´tudeestfaitesurlesnotesobtenuesparlescandidats
enmath´matiquesetenfran¸cais.
On admet que la note de math´matiques peut ˆtre mod´lis´e par une variable al´atoireXMqui
suit la loi normale de moyenne 12,5 et d’´cart-type 3,5.
Demˆmelanotedefran¸caispeutˆtremod´lis´eparunevariableal´atoireXFqui suit la loi
normale de moyenne 13,2 et d’´cart-type 2,1.

1. D´terminerP(96XM616) en donnant le r´sultat arrondi au centi`me.

2les graphiques ci-dessous, on a repr´sent´ en pointill´ la fonction densit´ associ´e ` la. Sur
variable al´atoireXM.
Lafonctiondensit´associ´e`XFest repr´sent´e sur un seul de ces graphiques.
Quel est ce graphique? Expliquer le choix.

0,2

0,15

0,1

0,05

0

5

10 15 20 25 30

Graphique 1

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0,2

0,15

0,1

0,05

0

5

10 15 20 25 30

Graphique 2

0,2

0,15

0,1

0,05

0

5

10 15 20 25 30

Graphique 3

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EXERCICE 4 (5 points)
En janvier 2016, une personne se d´cide ` acheter un scooter coˆtant 5700 euros sans apport
personnel. Le vendeur lui propose un cr´dit ` la consommation d’un montant de 5700 euros, au
taux mensuel de 1,Par ailleurs, la mensualit´ fix´e ` 300 euros est vers´e par l’emprunteur5 %.
` l’organisme de cr´dit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dˆ augmente de 1,5 % puis
baisse de 300 euros.
Le premier versement a lieu le 25 f´vrier 2016.
On noteunle capital restant dˆ en euros juste apr`s lan−i`me mensualit´ (nentier naturel non
nul). On convient queu0=5 700.
Les r´sultats seront donn´s sous forme approch´e ` 0,01 pr`s si n´cessaire.

1.

(a)D´montrer queu1, capital restant dˆ au 26 f´vrier 2016 juste apr`s la premi`re mensualit´,
est de 5 485,50 euros.

(b)Calculeru2.

2admet que la suite (. Onun) est d´finie pour tout entier naturelnpar :un+1=1,015un−300.
On consid`re l’algorithme suivant :

Variables:

Traitement:

Sortie:

nest un entier naturel
uest un nombre r´el
Affr`teecula valeur 5 700
Aff`retcenla valeur 0
Tant queu>4 500 faire
uprend la valeur 1,015×u−300
nprend la valeurn+1
Fin Tant que
Affichern

(a)Recopier et compl´ter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que n´cessaires
entre la deuxi`me et la derni`re colonne.

16MAELIN1

Valeur deu
Valeur den
u >4 500(vrai/faux)

5 700
0
vrai

vrai

faux

page 7/9

(b)Quelle valeur est affich´e ` la fin de l’ex´cution de cet algorithme ?
Interpr´ter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

3. Soitla suite (vn) d´finie pour tout entier naturelnparvn=un−20 000.

(a)Montrer que pour tout entier natureln, on a :vn+1=1,015×vn.

n
(b)En d´duire que pour tout entier natureln, on a :un=20 000−14 300×1,015 .

4. `l’aide de la r´ponse pr´c´dente, r´pondre aux questions suivantes :

(a)D´montrer qu’une valeur approch´e du capital restant dˆ par l’emprunteur au 26 avril
2017 est 2 121,68 euros.

(b)D´terminer le nombre de mensualit´s n´cessaires pour rembourser int´gralement le prˆt.

(c)Quel sera le montant de la derni`re mensualit´?

(d)Lorsque la personne aura termin´ de rembourser son cr´dit ` la consommation, quel sera
le coˆt total de son achat?

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16MAELIN1

50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
O

Δ

|
1

C

|
2

ANNEXE

N’est pas ` rendre avec la copie

|
3

|
4

|
5

|
6

|
7

|
8

|
9

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10

|
11

|
12

|
13

|
14

|
15

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