Corrigé BAC ES 2014 Mathématiques - Spécialité

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Exercice 1 (5 points)
1) D'après l'arbre ci-contre : p A( B)=0 ,7 .
Donc réponse : c).
2) p ( B)=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=0 , 26 .
Donc réponse : c).
3) F est la primitive de f ses variations dépendent
donc du signe de f . Comme f est négative sur
[ 4;12] , F est décroissante sur le même intervalle. Donc réponse : c).
4) Sur ]0 ;+∞[ : ln ( x)+ln ( x+3)=3 ln (2) ⇔ p( X >30)=p ( X ∈[30 ;60])=
60−30
60−20
=
30
40
=
3
4 ⇔
ln ( x2+3 x )=ln (8) ⇔ x2+3 x=8 . Donc réponse d).
5) L'aire, en unités d'aire est égale à ∫2
6 5
x
d x=[5 ln ( x)]2
6 =5 ln (6)−5ln (2) .
Donc réponse : a).
Exercice 2 (5 points)
1) a)
b) M=(0,9 0,1
0,4 0,6) .
c) On a supposé qu'au premier lancer, Alice a autant de chances d'atteindre la cible que
de la manquer donc a1=b1=0 ,5 d'où P1=(0,5 0,5) .
Par suite P2=P1×M =(0,65 0,35) .
Publié le : mercredi 18 novembre 2015
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BACCALAURÉAT

Série :
ES

Épreuve :Mathématiques
(spécialité)

Session 2014

Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 7

PROPOSITION DE CORRIGÉ

1

Exercice 1(5 points)

1

2

3

)

)

)

4

)

5

)

B=0 ,
D'après l'arbre ci-contre :pA7.
( )

Donc réponse :c).

p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=0 , 26.
( )

Donc réponse :c).

Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]

60−30 30 3
( )
p X>30=p(X∈[30 ; 60])== =
Sur 0;+∞: ln(x+lnx+3=23 ln⇔ 60−20 40 4 ⇔
] [)) () (

2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 . Donc réponsed).
( )( )

56
6

L'aire, en unités d'aire est égale àdx=5 lnx2=65 ln−5ln 2 .
[( )]( )( )
2
x

Donc réponse :a).

Exercice 2(5 points)

1

2

)

)

a)

0,9
b)M=
(
0,4

0,1
.
)
0,6

0,9

0,1

0,4

0,6

c) On a supposé qu'au premier lancer, Alice a autant de chances d'atteindre la cible que
a=b
( )
de la manquer donc1 1=0 ,5d'oùP=0,5 0,5.
1

Par suiteP=P×M=0,65
(
2 1

0,35 .
)

a) On aP=P×Mdonc(a
n+1nn+1

(a
b+1)=n
n

a=0 , 9a+0, 4b
On obtient bien :+1n n.
n

0,9
b)
(
n
0,4

0,1
.
)
0,6

b) Par définition,a+b=1 (Alicene peut qu'atteindre ou manquer sa cible!).
n n

a, 9a+0, 4b−1=0
Doncn+1=0n(n), 9a+0, 4−0 , 4a=0 , 5a+.0 , 4
n nn

2

60−30 30 3
p X>30=p(X∈[30 ; 60])= ==.
( )
60−20 40 4

précédente.

Exercice 3(5 points)

Donc à long terme, Alice a une probabilité de 0,8 d'atteindre la cible.

lima=0, 8.
n
n→+∞

d) D'après le cours, l'état stablePd'un graphe probabiliste s'obtient en résolvant

u=a−0 , 8=0 , 5−0 , 8=−0 , 3.
1 1

x=0,9x+0,4yx=0,8
système .On trouve. On retrouve donc bien la réponse
{{
x+y=1y=0,2

3

nn
c) Comme−1<0 ,5<1,lim 0, 5=0donclim 3×0 ,8=0et par suite
( )( )
n→+∞n→+∞
0

l'équation matricielleX=X×M. Résoudre cette équation revient à résoudre le

a)

)

3

0,7872

0,4

0,5

b) Lorsquen=5 , on obtient :

n−1n−1
b) Par formule,un=u1q=−0, 3×0 ,5

)

5

C'est à dire :a≈et0, 7872b≈0 , 2188.
55

u=a−0 ,8=0 , 5a−0 ,8=0, 5u
a)n+1n+=0 ,5a+0 , 4−0, 8=0, 5a−0 , 4(n)n.
1n n

Par suite,(u)est bien une suite géométrique de raisonq=et de premier terme0 , 5
n

)

4

Partie A

)

1

0,2188

n−1
et par suite :an=un+0 , 8=0 , 8−0 , 3×.0 , 5

2

)

60+20 80
E X== =40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2

Partie B

1

2

3

)

)

)

p p(D<57)=0, 5
Comme 57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :1=.

(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)

p=p56 , 75<D<57 , 25≈d'après la calculatrice.0 ,977
( )
2

p=1−p≈.0 , 023
3 2

Partie C

1

2

)

)

66
f= =0 , 825.
80

1 1
Par formule :I=f−;f+ =[0 , 713; 0, 937].
[ ]
√n√n

Exercice 4

Partie A
1) Parlecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.
2) Parlecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.

Partie B
−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
1)f' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2
( )( )( )(( ))

−0 , 5x−0 ,5x
= e1−0 , 5x−1=−0, 5xe .
( )

D'où le tableau de variations def:
x
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe dee

Signe def '

Variations def

0

2

+

1

5

f15
( )

−0 ,5×0−0 ,5×15−3
oùf0=2 e=2×1=2 etf15=17 e≈9 , 4×10 .
( )( )

fest donc strictement décroissante sur0 ; 15.
[ ]

4

2

x
signe de
0 , 25x−0 , 5

)

2

admet bien une unique solution sur0 ; 15.
[ ]

Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe de'f ':

f '' xchange de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.
( )

0

0

+

D'après la calculatrice :
◦f9≈0 , 12>0 , 1etf10≈0 , 08<0 , 1doncα∈9 ; 10.
( )( )] [

+

+

signe de' xf '
( )

f0=2>0 ,1etf, aleurs15 0
( )( )≈009<0 , 1. Donc d'après la propriété des v

+

5

intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf x=0 ,1
( )

Sur l'intervalle0 ; 15, la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]

1

5

2

)

D'après la partie B,fα =0 , 1avecα∈9 , 4 ; 9 , 5donc le médicament n'est plus
[ ]
( )

)

3

4

◦puisf9 , 4≈0 , 104>et0 , 1f9 ,5≈0 , 099<donc0 ,1α∈9 , 4 ; 9 , 5.
( )( )] [

)

0

)

1

Partie C

−0 , 5x
signe dee

Ainsif(est concave sur0 ; 2f ''<0 ) et convexe sur2 ; 15(f ''>0 ).
[ ][ ]

au bout de 2 heures.

−0, 5x
D'après les résultats affichés,fx' '=0 , 25x−e0 , 5.
( )( )

La baisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie

actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.
Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.

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